МатематическийАнализ2семестр
.pdf
Вычисление объёмов тел вращения
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a,x=b,y=0,y=f(x).
Разобьём отрезок [a,b] на элементарные частичные отрезки 1, 2,..., = и на каждом частичном отрезке выберем точку ξ [ −1, ]. Тогда некоторое приближение для
|
|
≈ ∑ |
π 2(ξ )∆ |
|
искомого объёма даёт следующая сумма: |
|
|
|
. |
|
|
=1 |
|
|
Очевидно, что приближение для исходного объёма будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения ∆ . Поэтому за искомый объём берём следующий предел:
|
= lim |
|
|
∑ π 2(ξ )∆ = |
π∫ 2( ) |
||
|
∆ → 0 |
=1 |
|
21
Пример: V-? Вращение фигуры, ограниченной линиями = − , = 0, = 0, = 1, вокруг
|
1 |
|
|
|
= π∫( − )2 = |
π2 |
(− −2 + 1) |
|
0 |
|
|
|
π∫ 2( ) |
|
|
|
|
Заменяя в |
|
|
переменную x на y получаем формулу для объёма |
|
тела, |
|
|
от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат. |
|
|
|
полученного |
|
|
|
|
|
= ( ) = φ( ). |
|
= π∫ φ2( ) |
|
|
|
06.03.2026 |
|
Пример: Найти , полученного вращением фигуры, ограниченной линиями = 2,
= 3.
22
|
|
1 |
= π∫ φ2( ) = π∫(( 2/3)2 − ( 1/2)2) = (3/5 − 1/2)π = 0. 1π |
||
|
|
0 |
Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a;t], a - число, t -
параметр. То есть, функция с переменным верхним пределом. Φ( ) = ∫ ( ) для
≥ .
+∞
Определение: Несобственным интегралом ∫ ( ) от функции f(x) на
полуинтервале [ ; + ∞) называется предел функции Φ( ), → ∞:
+∞
∫ ( ) = |
lim |
Φ( ) = lim |
∫ ( ) |
|
|
|
|
→ +∞ |
→ +∞ |
|
lim |
|
|
Определение: Если предел стоящий в правой части ( |
) существует и |
|||||
|
|
|
|
∫ ( ) |
|
|
→ +∞
конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся к данному пределу, в противном случае расходящимся.
При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
1.Исследование вопроса о сходимости данного несобственного интеграла.
2.Вычисление значения в случае сходимости. Иногда решение эту двух задач удаётся
объединить.
Использование несобственного интеграла позволяет придать смысл така понятию как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.
23
Пример: 
Общий случай: +∞ |
|
|
|
|
|
− +1 |
|
1 |
|
|
|
|
1− |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
∫ |
|
|
= |
lim |
∫ |
|
= |
|
lim |
− +1 |
|1 = |
1− |
lim ( |
|
− 1), |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
→ +∞ 1 |
→+∞расходится. |
|
→+∞ |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 − > 0: |
1 |
|
|
lim |
( |
1− |
− 1) =+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1− |
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
1 |
|
|
→+∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
сходится. |
|||||
|
1 − < 0: |
|
|
lim |
( |
|
− 1) = |
|
|
lim ( |
|
− 1) |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
1− |
|
|
|
1− |
|
|
−1 |
1− |
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→+∞ |
|
|
|
|
|
расходится. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 1: lim |
|
= |
lim |
| ||1 = |
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∫ |
( − 1) =+ ∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
→ +∞ 1 |
|
|
|
→ +∞ |
|
|
|
|
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+∞
Вывод: ∫ , : 1) m 1 расходится 2) m>1 сходится.
Пример: 
Замечание: Это правило работает для любых |
|
|
|
на |
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
интеграл на полуинтервале |
|
||||||||
Аналогично определяется несобственный |
|
≥ 1 |
|
[ ; + ∞) |
|
(− ∞; ]: |
||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ( ) = |
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−∞ |
|
понятие−∞несобственного |
интеграла на |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|||||
Введём |
|
→ |
|
|
интегралы |
|
|
|
и |
|
|
сходятся, тогда |
||||
Пусть |
для |
числа a несобственные |
|
|
|
(− ∞; + ∞) |
|
[ ; + ∞) |
|
|||||||
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
(− ∞; ] |
|
|
||||
|
|
|
сходится. |
Тогда этот |
интеграл называется |
|||||||||||
∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящимся. Этот же интеграл называется расходящимся, если хотя бы один из интегралов правой части расходится.
24
Пример: 
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл Эйлера-Пуассона
+∞ − 2
∫ 2 .
−∞
13.03.2026
Интеграл Эйлера-Пуассона
+∞ |
2 |
|
||
∫ − |
2 |
= |
2π |
|
−∞ |
|
2 |
|
|
+∞ |
|
|
π |
|
∫ − |
= |
|||
−∞
Доказательство:
25
|
−2 |
Кривая Гаусса на |
+∞ −2 |
|
= 2π |
||||
|
(− ∞, + ∞) ∫ 2π |
|||
−∞
= 1.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция y=f(x) непрерывна, но не ограничена на интервале [a,b).
26
Определение: Несобственным интегралом |
|
от функции y=f(x) называется |
|||
|
|
−δ |
|
∫ ( ) |
|
предел |
lim |
. |
|
|
|
|
∫ ( ) , δ > 0 |
|
|
|
|
|
δ →0+ |
|
|
|
|
Определение: Если предел, стоящий в правой части существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, иначе расходящимся.
Пример: 0 |
|
= |
lim |
0−δ |
|
= |
lim |
1 |
− 1 = ∞ |
расходится. |
||
∫ |
2 |
∫ |
2 |
δ |
|
|||||||
−1 |
|
|
δ |
0+ |
−1 |
|
δ |
|
0+ |
|
|
|
|
|
определяется |
несобственный |
|
||||||||
Аналогично |
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
интеграл от непрерывной, но |
|
неограниченной функции y=f(x) на (a;b]. |
|
|
||||||||||
|
lim |
|
( ) , δ > 0 |
|
|
|
|
|||||
∫ ( ) = |
∫ |
|
|
|
|
|||||||
δ →0+ +δ
Пример: |
4 |
|
4 |
|
= lim |
4 |
= 4 |
сходится |
|
|
|
||||||||
|
∫ |
= lim ∫ |
2 |δ |
|
|||||
0 |
приδ → 0+ 0+δ |
|
δ → 0+, |
|
|||||
Если y=f(x) |
|
то несобственный интеграл разбивается на |
|||||||
|
|
|
= , ( , ) |
|
|
|
|||
несобственные ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .
|
|
|
Вывод: Данный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла правой части. И расходится, если хотя бы один из двух правой части расходится.
Признаки сходимости несобственных интегралов
Часто несобственные интегралы с бесконечным пределом интегрирования называют несобственным интегралом первого рода, а от неограниченной функции второго рода. Рассмотрим признаки сходимости для первого рода:
Теорема (Первый признак сравнения): Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны при x>a, причём f(x)≤g(x),x>a. Тогда
27
1. Если сходится +∞ |
|
|
сходится |
+∞ |
. |
|
|
|
|
|
||
∫ ( ) |
|
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если расходится |
|
|
расходится +∞ |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
∫ ( ) |
|
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим функции |
|
|
, |
|
|
|
для t≥a. Так как f(x)≥0 и g(x)≥0, то |
|||||
|
|
( ) = ∫ ( ) |
|
( ) = ∫ ( ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
функции переменного t. Из неравенства f(x)≤g(x) следует, что |
|||||||||
F(t) и G(t) - неубывающие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F(t)≤G(t) для любого t≥a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Если +∞ |
сходится, |
то существует конечный предел |
lim ( ) |
. Тогда G(t) |
||||||||
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сверху+∞(так как F(t)≤G(t)). |
||
ограничена сверху. Следовательно, |
F(t) также ограничена |
|
→ |
|
||||||||
Будучи неубывающей и ограниченной, F(t) имеет конечный предел при t→+∞, то есть
+∞
∫ ( ) сходится.
2. Если |
+∞ |
расходится, то |
lim ( ) =+ ∞ |
(в силу монотонности). Тогда из |
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
→ +∞ |
|
+∞
F(t)≤G(t) следует, что и G(t)→+∞, то есть ∫ ( ) расходится.
Теорема (Второй признак сравнения): Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны,
x>a,f(x)>0,g(x)>0, причём существует конечный предел θ = lim ( ) , θ < ∞, θ ≠ 0.
( )
→+∞
+∞ +∞
Тогда ∫ ( ) и ∫ ( ) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
определения |
предела для |
|
|
найдётся |
такое |
A≥a, что для всех x≥A |
|||||||
выполняется неравенство |
|
ε = 2 |
|
|
|
( ) |
< |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
2 |
|
( ) |
2 |
. |
||
Умножая на положительную g(x), получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− ε < |
|
|
< + ε < |
|
|
|
|||||
2 ( ) < ( ) < 32 ( ), ≥
28
+∞
Рассмотрим интегралы на [A,+∞). Если сходится ∫ ( ) , то из правого неравенства
+∞
( ) < 32 ( ) по первому признаку следует сходимость ∫ ( ) . Если же сходится
∫ ( ) |
|
2 ( ) < ( ) |
|
∫ ( ) |
|
|
+∞ |
, то из левого неравенства |
|
|
следует сходимость |
+∞ |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на бесконечности оба интеграла ведут себя одинаково. Добавление конечного отрезка [a,A] не влияет на сходимость, поэтому исходные интегралы сходятся или расходятся одновременно.
Пример: |
+∞ |
|
, |
1 |
< |
1 |
+∞ |
1 |
|
сходится, значит сходится и |
+∞ |
|
по |
|
∫ |
( +2)2 |
( +2)2 |
2 |
, ∫ |
2 |
|
∫ |
( +2)2 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
первому признаку.
20.03.2026
Замечание: Признаки сравнения для несобственных интегралов 1 рода также справедливы и для несобственных интегралов 2 рода.
Ряды Числовые ряды Основные понятия
Определение: Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел
1, 2,..., ,... |
, соединённая знаком сложения |
∞ |
. Числа |
1, 2,... |
|
∑ = 1 + 2 +... |
|
||
|
|
=1 |
|
|
называются членами ряда, а - общим или n-ым членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член (функция натурального
аргумента).
Пример: |
∞ |
(−1) |
=− |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
|
∑ |
2+1 |
2 |
5 |
10 ... |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
29
1 =− 12 , 2 =− 103 , 3 =− 104 , 4 =− 2985
Рассмотрим суммы конечного числа членов рядов.
1 = 1, 2 = 1 + 2,..., = 1 + 2 +... + +...
Определение: Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной сумма ряда. Определение: Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм.
lim = < ∞. Число S называется суммой ряда.
→ ∞
∞
∑ =
=1
Если конечного предела последовательности частичных чувств не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример: |
+ + 2 +... = |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∑ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |q|<1 сходится |
= |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
) |
= |
|
1− < ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1− |
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|q|∞ 1 расходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.→ |
|
|
|
|
|
|
lim |
(1− ) |
|
= ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если больше 1: |
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если равен 1: |
→ ∞ |
= lim |
|
= ∞ |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
→∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1*21 + 2*31 |
|
|
|
|
|
1 − +11 |
|
= 1 − |
21 + 21 − 31 + 31 −... 1 |
+ +11 ... |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... = ∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
lim 1 |
− |
+11 |
= 1 |
|
|
|
|
=1( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится и имеет конечную сумму S, то и ряд, полученный умножением данного ряда на число λ также сходится и имеет сумму λS.
30