МатематическийАнализ2семестр

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x)≥0. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченную графиком этой функции, осью Ox, x=a и x=b (площадь под кривой).

Понятие интегральный суммы - пусть на отрезке [a,b] задана y=f(x). Разобьём отрезок на n частичных отрезков точками 1, 2,..., . 0 = , = (необязательно равные).

Возьмём ξ [ −1, ].

интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Очевидно, что данная сумма зависит от разбиения и точек ξ. Тогда возьмём длину самого большого отрезка и устремим её к нулю.

Для разбиения избранного отрезка [a,b]. Обозначим самый большой из частично выбранных отрезков ∆ .

Определение: Пусть предел интегральной суммы при стремлении ∆ к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек 1, 2,... и ξ1, ξ2,.... И этот предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и

интегрируемой на отрезке [a,b]. a называется нижним пределом (границ), b - верхним пределом. f(x)d(x) называется подынтегральным выражением, а эта задача -

интегрирование суммы от a до b. a<b

11

времени [0;T] и = ∫ ( ) . Тогда это и есть объём выпускаемой продукции за время

0

от 0 до T.

Теорема (Достаточное условие существования определённого интеграла): Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на нём. Доказательство очевидно по теореме Вейерштрасса.

Свойства определённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Предел суммы равен сумме пределов. Свойство справедливо для любого числа слагаемых.

13.02.2026

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей (для любых).

, , : ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )

Геометрический смысл третьего свойства:

12

1 = + (− 2) = 1 + 2

4. Если на отрезке [a,b] a<b, f(x)≤g(x), то и такое же неравенство справедливо для интегралов, то есть обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Пусть фиксированные разбиения отрезка [a,b] и выбор точек ξ1, ξ2,..., ξ на каждом из

переходя к пределам в неравенстве получаем искомую формулу.

Следствие: Пусть на [a,b] a<b функция f(x) ограничена ≤ ( ) ≤ ; , . Тогда

13

Геометрический смысл интеграла с верхним пределом: Φ(x)=S(x)

Значение функции Φ(x) в точке x равно S(x) под кривой y=f(t) на [a,x].

[a,b] производная функции Φ(x) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции f(x).

Φ'( ) = (∫ ( ) )' = ( )

Воспользуемся равенством Φ( + ∆ ) = Φ( ) + (ξ)∆

Φ( +∆ )−Φ( ) = (ξ), где ξ [ , + ∆ ]. Перейдём к пределу ∆ → 0.

∆

lim (ξ) = ( ) Φ'( ) = ( )

∆ → 0

15

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b], то для этой функции существует первообразная на [a,b].

Примером первообразной служит Φ(x).

Замечание: 4 арифметические операции и нахождение функции от функции, применённое к элементарной функции конечное число раз вновь приводит к функциям элементарным. Что касается интеграла с переменным верхним пределом, то здесь элементарность функции y=f(x) не обеспечивает элементарность функции Φ(x).

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема: Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b], F(x) - любая первообразная для функции f(x) на этом отрезке. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке.

∫ ( ) = ( ) − ( )

Пусть F(x) - некоторая первообразная от функции f(x) на [a,b]. По теореме 2: Φ(x) тоже её первообразная на этом отрезке. F(x)=Φ(x)+C. Рассмотрим приращение первообразной F(x): F(b)-F(a)=(Φ(b)+C)-(Φ(a)+C)=Φ(b)-Φ(a). По определению,

Φ( ) − Φ( ) = ∫ ( ) − ∫ ( ) = ∫ ( )

20.02.2026

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема: Пусть функция φ(t) дифференцируема на [α,β]: φ’(t) непрерывна на [α,β]. Пусть φ(α)=a,φ(β)=b, а также функция f(x) непрерывна в каждой точке вида x=φ(t) для любого

β

[α, β]. Тогда ∫ ( ) = ∫ (φ( ))φ'( ) .

α

Доказательство:

16

Пусть F(x) - первообразная для f(x), Φ(x) - первообразная для (φ( ))φ'( ). Из доказательства неопределённого интеграла мы знаем, что F(φ(t)) - тоже первообразная для (φ( ))φ'( ). По следствию теоремы Лагранжа Φ( ) − (φ( )) = , . По формуле Ньютона-Лейбница:

Φ( ) − Φ( ) = ( (φ(β)) + ) − ( (φ(α)) + ) = ( ) − ( ).

β

∫ ( ) = ∫ (φ( ))φ'( ) , = φ( ), = φ(α), = φ(β)

α

Пример:

Интегрирование по частям в определённом интеграле Теорема: Пусть u,v - непрерывны и дифференцируемы на [a,b]. Тогда

17

Доказательство:

(uv)’=u’v+uv’, следовательно uv - первообразная функции u’v+uv’. По формуле

Порядок взятия u,v - LIATE - логарифмы, обратные тригонометрические, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные.

Пример:

Вычисление площадей плоских фигур

1. = ∫ ( ) [ , ], ( ) ≥ 0

Пример:

18

27.02.2026

2. =− ∫ ( ) [ , ], ( ) ≤ 0

Рассмотрим y=-f(x). = ∫− ( ) =− ∫ ( ) = ∫ ( )

Вывод: = ( ) ≤ 0 =− ∫ ( )

Пример: ∫ ( ) = 1 − 2 + 3, так как по первому свойству

19