Добавил:

daner270 Зам Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МатематическийАнализ2семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2026

Размер:

4.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

1. | − |

< ε − < ε.

< + ε =: .

Не

умаляя

общности,

q<1,

∑

. Так как ряд

∞

сходится, то

∞

тоже сходится.

2. | − | < ε − ε < − .

> − ε =: .

Не

умаляя

общности,

q>1,

∑

. Так как ряд

∞

расходится, то

∞

тоже расходится.

Если lim = 1, то признак Коши не даёт ответа.

→∞

Степенные ряды

Степенной ряд - это 0 + 1 +... + +..., , x - переменная. Каждый член ряда - функция (одночлен).

∞

∑ , числа - коэффициенты степенного ряда.

Если = 0, то степенной ряд становится числовым рядом. Множество тех x, для которых этот числовой ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

∞

Пример: ∑ , находим область определения. При |x|<1 ряд сходится.

08.05.2026

∞

Определение: ∑ - степенной ряд.

Определение: Область сходимости - все значения, где ряд сходится.

Теорема Абеля: 1. Если степенной ряд сходится при = 0 ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно при всех значениях таких, что | | < | 0|. 2. Если степенной ряд расходится при = 1 он расходится при : | | > | 1| > 1, <− 1.

Доказательство:

∞

1. По условию ∑ сходится при = 0 ≠ 0 необходимый признак сходимости

говорит, что		= 0	последовательность		\|	\|	ограничена, то есть	> 0:
	lim 0	= 0			\| 0\|			> 0:
\|	→∞ .				\|	\|
\|	\|
\| 0\| <
\|	\|			∞	\|	\|
Рассмотрим	ряд абсолютных величин			∞	\|	\|	и представим в виде
				∑ \| 0\|
				=0\|		\|

. Члены

меньше вот такого ряда:

| 0| + | 1 0||

| +... +

| 0||

| +...

| 0|

+...

, а данный ряд представляет собой геометрический ряд с

+ |

| +... + |

q<1. |x| меньше по модулю

На основании признака сравнения исходный ряд сходится.

= |

| |

∞

2. Пусть ряд ∑ расходится при = 1. покажем, что он расходится для | | > | 1|.

От противного: предположим, что | | > | 1| ряд расходится.

Тогда по доказанному в первом пункте, он сходится и в = 1 (так как | | > | 1|), что противоречит условию. Значит, ряд расходится для : | | > | 1|. Из теоремы Абеля следует, что существует ≥ 0: | | < ряд сходится абсолютно, а при |x|>R расходится.

R - радиус сходимости. (-R,R) - интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости x=-R,x=R ряд может либо сходится, либо расходится.

Вывод формулы сходимости:

|. Знаконеотрицательный ряд.

Рассмотрим степенной ряд абсолютных величин ∞ |

∑ | |

=0|

По признаку Даламбера:

| +1* +1|

lim

| +1|

< 1 | | lim

| +1|

< 1

| |

lim

| * |

| | *

| |

→ ∞

| |

→ ∞

| | <

lim

| +1|

lim

| +1|

ряда удобнее применить радикальный признак

∞

степенного∞

Если для→конкретного

→

Коши, то для радиуса сходимости можно получить и другую формулу:

lim

| | = lim

| | < 1 | | <

lim

| |

→

Замечание∞

: У некоторых∞

степенных рядов

интервал∞

сходимости вырождается в точку

x=0, если радиус сходимости R=0. У других охватывает (− ∞; + ∞), если = ∞.

∑ ( − 0)

Существуют обобщённые ряды

∞

. Можно доказать, что по теореме Абеля

тоже для них выполняется

lim

| |

или

= lim

| +1|

| |

Доказательство:

∑ ( − )

→ ∞

1 = ≠

1. По

условию

∞

сходится

при

необходимый

признак

lim ( 1

сходимости

говорит,

что

последовательность

− ) = 0

| 0|

ограничена, то есть

→∞

> 0: | ( 1 − ) | <

Рассмотрим

ряд

абсолютных

величин

∞

представим в

виде

∑ | ( 1 − ) |

=0|

−

| .

Члены

меньше вот

| | + | (

− )||

(

+...

(

| +... + |

− ) ||

− ) |

1 1

−

такого ряда:

−

+...

а данный ряд представляет собой геометрический ряд

+ |

1−

| +... + |

1−

.|q<1. |x-a||

− |

меньше по модулю

= |

− |

1−

На основании признака сравнения исходный ряд сходится.

∑ ( − )

= 2

2. Пусть ряд

∞

расходится при

. покажем, что он расходится для

От

противного:

предположим, что

| − | > | 2 − |

ряд

| − | > | 2 − |

расходится.

Тогда

по

доказанному

первом

пункте,

он

сходится

(так

как

Значит,

расходится

для

| − | > | 2 − |

что

противоречит

условию.

ряд

= 2

: | − | > | 2 − |

Если = 0 = 0 сходится в одну точку. = ∞ (− ∞; + ∞) область сходимости.

Функциональные ряды можно исследовать только на абсолютную сходимость по признаку Даламбера или Коши, а затем исследовать на сходимость на концах.

Пример:	∞		lim		( +2)!	= lim + 2 = ∞	сходится на всей оси.
	∑	( +1)! , =	lim	( +1)!	+1	= lim + 2 = ∞
	=0		→ ∞			→∞

15.05.2026

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда - функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.

Пример: Исследовать на непрерывность сумму S(x) ряда

∑	= 1, ∑ 1 , ∑ (− 1)			( ) = 1−1
∞	∞	∞	расходятся.		определена и непрерывна

=0	=0	=0

везде, кроме x=1. Ответ: Сумма ряда непрерывна в области сходимости.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости.

∞

(

)

∑ ∫ ( ) * = ∑ ∫ . ∫ =

∫ =

−

∞

∑=0 ∫ = ∑=0

(

+1−

)

= ∑=0

3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.

Замечание: При интегрировании или дифференцировании получен тот же радиус сходимости при R.

Ряд Маклорена:

Предположим, что f(x) определена и n раз дифференцируема в окрестности точки x=0. Функция может быть представлена в виде степенного ряда:

( ) = 0 + 1 + 2 2 +... + ...

Выразим коэффициенты через f(x). Найдём производные:

'( ) = 1 + 2 2 +... + −1...

''( ) = 2 2		−2	...
	+... + ( − 1)			* −
( ) = (	− 1)( − 2)...	* −1 + ( − 1)( − 2)...

(0) = 0, '(0) = 1! 1, ''(0) = 2! 2,..., ( )(0) = !

0 = (0), 1 =	'(0)	, 2 =	''(0)	,..., =	( )(0)
	1!		2!		!

Если подставим, получим коэффициенты:

( ) = (0) +	'(0)	+	''(0)		2	+... +	( )(0)			+...
	1!		2!				!

Замечание: Не всем функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Составленный ряд может быть расходящимся или сходящимся не к функции f(x).

Как и для числовых рядов, сумму f(x) можно представить в виде: ( ) = ( ) + ( ) - n-ая частичная сумма ряда и n-ый остаточный член ряда.

4. На основании 4 свойства сходящихся рядов можно сформулировать теорему: Теорема: Чтобы ряд Маклорена сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы при стремлении n к бесконечности остаток ряда стремился к нулю.

22.05.2026

Асимптотические разложения

Рассмотрим формальный ряд

∞

: 1.

- число или функция аргумента 2. Мы не

∑

установлено само понятие сходимости. То есть, просто

знаем, сходится или нет, и не

сумма элементов

∞ .

∞

Определение: Формальный{ }

ряд

называется

асимптотическим рядом

∑

= ( )

φ ( ) ∞

Асимптотические

разложения функций. Пусть

последовательность

определена в некоторой

окрестности

функций, причём

{

} =1

∞

последовательность при

Определение:

φ ( ) асимптотическая

→ 0

{φ ( )} =1 .

φ +1( ) = (φ ( )), → 0

Пример: { }∞=1, → 0

Пусть f(x) и φ ( ) определены в некоторой окрестности 0 .

Пусть

φ ( )

∞

- асимптотическая последовательность.

Пусть {

∞

}-=1числовая последовательность.

∞

Определение{ }

: Формальный ряд

- асимптотические разложения функции f

∑ φ

при

→ 0

, если

( ) − ∑ φ ( ) = (φ ( ))

Обозначение:

( )~ → 0 ∑ φ ( )

Пример: Ряд Маклорена (Тейлора)

Асимптотические разложения интегралов специального вида.

∫ ( ) * λ ( ) . f,S - бесконечно дифференцируемые функции на [a,b] λ → + ∞.

Асимптотические разложения по параметру λ методом Лапласа.

Метод Лапласа: “Вклад” в F(λ) даёт точка, где S(x) принимает наибольшее значение. Нужно найти наибольшее S на [a,b].

Простой максимум	.
ситуацию (у остальных немного другие формулы).
Рассмотрим первую ''( ) ≠ 0		( ( ) + (		)).
Рассмотрим (λ) = λ ( ) *	−λ2π''( )	( ( ) + (	1λ	)).

(λ)~ (λ), если точка c одна, и (λ)~ ∑ (λ), если наибольшее значение S(x) в точках

1,..., .

Метод Лапласа выводится из интеграла Эйлера-Пуассона.

Формулы Стирлинга.

Задача - построить асимптотические разложения n! при → ∞. Рассмотрим

+∞

Гамма-функцию Эйлера: Γ( ): = ∫ −1 − . {0} Γ( + 1) = !.

+∞		+∞
	+∞

! = ∫ − = | → , → | = +1 ∫ − = +1 ∫ ( − )

(λ) =

λ ( )

Рассмотрим

S(x)=lnx-

x,f(x)=1

'( ) =

− 1

'( ) = 0 = = 1

''( ) =−

< 0

(λ) = −

2π

1 + (

)

! ~ →+∞ 2π

(

1 + (

)

Формула Стирлинга( ) (

! ≈

)

29.05.2026

2π (

| | ≤

Применение рядов в приближённых вычислениях

= 1 + +

+...

Пример: −3/5 = 1 − 3/5 + 9/50 −... ≈ 0, 5488

0, 8 = (1 − 0, 2) =− 0, 2 − 0,042 − 0,083 −... ≈− 0, 227 20◦ = π9 − 16 ( π9 )3... ≈ 0, 342

Ряды Фурье

Определение: Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле на отрезке [a,b] у неё конечное число разрывов и стационарных точек и

[ , ] ( ) =

lim

( ) +

lim

( ) .

∞

→

Утверждение: Для любой−0

функции

f(x),+0 удовлетворяющей условию Дирихле, на [-l,l]:

( ) =

+ =1∑

(

π.

, = 0, 1,) 2,..., =

−∫ ( )

(π

)

∫ ( )

Ряды

−

Фурье - периодические функции с периодом 2l.

Определение:

( ) =

∞

- ряд Фурье функции f(x) на [-l,l].

∑

Доказательство:

=1(

)

Вычислим три интеграла:

, =

, +: −∫

= {0, ≠

, =

, : ∫

= {0, ≠

−

+, : ∫

= 0

−

( ) =

∞

Проинтегрируем

. Будет оставаться только одно

+ ∑

слагаемое:

∞

π=1(

) =

)

∫(

+ ∑

∫ =

−

=1(

)

−

Проинтегрируем и умножим:		0	∞	π
	∫( 2		+ ∑
	−		=1(

+	π	))	π	=	.

Проинтегрируем и умножим:

∞

)

∫( 2

∑

Свойства: (− ) = ( ) − = 0.

(−=1(

) =− ( ) =)

Интеграл Фурье

∞

Пусть f удовлетворяет условию Дирихле на [ ; ] и ∫ |( )| (сходится), значит

∞			−∞		∞
∞			∞		∞	.
( ) = ∫(α( ) +	β( )), α( ) =	π1	∫ ( ), β( ) =	π1	∫ ( )
0		−∞		−∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.06.20263.49 Mб0МатематическийАнализ1семестр.pdf
#
01.06.20264.18 Mб0МатематическийАнализ2семестр.pdf
#
01.06.2026666.35 Кб0МатериалыДляКТ1.pdf
#
01.06.2026649.61 Кб1МатериалыДляКТ2.pdf