Мультисервисные сети2

Рассмотрим простейшую последовательную систему с двумя узлами. Каждый овал – это СМО. Внутри овала − номер узла

(рис. 17.2).

1 2

Рис. 17.2. Система с двумя последовательными узлами

времени обслуживания b x e x . Т.е. узел 1 представляет собой

СМО типа М / М / 1. Предположим также, что узел 2 также содержит один обслуживающий прибор с показательным распределением времени обслуживания с интенсивностью обслуживания .

Задача состоит в том, чтобы определить распределение промежутков времени между последовательными требованиями, поступающими в узел 2. Это эквивалентно задаче вычисления распределения промежутков времени между последовательными требованиями, уходящими из узла 1.

Обозначим d t плотность распределения вероятностей

промежутков между последовательными требованиями на выходе узла 1 и D * s – преобразование Лапласа этой величины. Вычислим

D * s в момент, когда требование покидает узел 1. Возможно одно

из двух событий. Либо в очереди имеется второе требование, готовое поступить в прибор узла 1, либо нет (накопитель пуст). В первом случае промежуток времени, через которое второе требование покинет узел 1, распределен так же, как время обслуживания, и в этом случае получаем

Во втором случае промежуток времени, через который следующее требование покинет узел 1, складывается из двух промежутков:

1)время до поступления следующего требования;

2)время обслуживания следующего требования.

пуассоновским потоком с параметром .

Доказано, что М / М / r – единственная система с обслуживанием в порядке поступления, которая обладает таким свойством [5].

17.4. Сети Джексона

Рассмотрим сеть, содержащую L узлов, причем каждый i-й узел состоит из ri обслуживающих приборов с показательным временем

обслуживания с параметром i . В каждый i-й узел извне поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью 0,i . При L 1 получаем М / М / r .

Покидая i-й узел, требование с вероятностью ij поступает в j-й

узел, причем допускается ii 0 . Θ матрица вероятностей пере-

ходов (маршрутная матрица).

Вероятность того, что после обслуживания в i-м узле требование

L

покинет сеть, равна 1 ij .

j 1

Необходимо вычислить полную интенсивность потока требований в заданный узел. Для этого нужно просуммировать пуассоновские потоки, поступающие извне, и потоки требований (не обязательно пуассоновские), поступающие от других узлов сети.

Обозначим i полную интенсивность потока, входящего в i-й узел.

Причем множество этих параметров должно удовлетворять системе уравнений:

того, что в состоянии равновесия в i-м узле будет находиться ni требований.

464 Глава 17. Аналитическое моделирование мультисервисных сетей

Примечание: Маргинальная вероятность – это безусловная вероят-

ность P(A) события A; т.е. вероятность события A не зависит от того, наступает ли какое-то другое событие B или нет. Если B – случайная величина, принявшая данное значение, маргинальная вероятность A может быть получена суммированием (или более широко интегрированием) совместных вероятностей по всем значениям этой случайной ве-

Джексон доказал, что пространство состояний СеМО может быть

где pi ni – стационарная вероятность для классической системы

М / М / r и может быть найдена независимо для каждого узла с использованием С-формулы Эрланга [2, 4, 6].

17.5. Замкнутые сети Джексона

В замкнутой сети из L узлов циркулирует конечное и фиксированное число N требований, которые задерживаются в сети так, что ни одно из них не может покинуть сеть и ни одно другое требование не может поступить в сеть [6]. Это соответствует схеме

i 1

где ni – число заявок в i-й СМО.

В этой модели множество состояний системы является конечным. Обозначим его как

Практически любую инфокоммуникационную систему можно представить в виде замкнутой однородной или неоднородной сети массового обслуживания, определив источник-сток заявок в виде отдельного узла. Поэтому СеМО данного вида представляют для нас наибольший интерес.

17.6. Узловые и сетевые характеристики СеМО

Нахождение распределения состояний системы (выражения (17.8) и (17.15)) является отправной точкой для нахождения ее вероятностно-временных характеристик [1].

17.6.1. Исходные данные

В качестве исходных данных для анализа характеристик СеМО применяются следующие параметры:

1.L – количество узлов СеМО.

2.K – количество классов заявок.

3.N – количество заявок в СеМО, если она является замкнутой, в

СеМО.

6. Λ 0ik , i 1, L, k 1, K – вектор, определяющий интенсив-

ность внешнего потока заявок k-го класса в i-й узел, если СеМО является открытой.

7. T ti , i 1, L – вектор, определяющий тип распределения дли-

тельностей обслуживания в i-м узле.

8. D di , i 1, L – вектор, определяющий дисциплину обслужи-

ющий интенсивность обслуживания k-го класса заявок в i-м узле.

17.6.2. Дисциплины обслуживания

Важным фактором при анализе вероятностно-временных характеристик СеМО является дисциплина обслуживания заявок, отражающая особенности СМО, имитирующих поведение компонентов мультисервисных сетей.

Практический интерес для нас представляют следующие дисциплины обслуживания [1]:

FCFS (First Come – First Served) – обслуживание требований в порядке поступления;

LCFSPR (Last Come – First Served – Preemptive Resume) –

обслуживание требований в порядке, обратном поступлению, с приоритетным дообслуживанием. При этой дисциплине, если в СМО имеется свободный обслуживающий прибор, то требование обслуживается так же, как и в системе с

дисциплиной FCFS. Если все приборы заняты, то при поступлении нового требования в СМО с вероятностью 1/ ri прерывается процесс обслуживания требования в одном из ri приборов и этот прибор начинает обслуживать вновь поступившее требование. Требование, обслуживание которого было прервано, устанавливается первым в очередь, и за ним закрепляется остаточное время, в течение которого оно должно будет дообслуживаться при его последующем выборе из очереди;

PS (Processor Sharing) – обслуживание требований с разделением производительности обслуживающего прибора. Предполагается одновременное обслуживание всех требований, пребывающих в СМО. Интенсивность обслуживания каждого из этих требований обратно пропорциональна числу требований, пребывающих в системе;

IS (Infinite Service) – обслуживание требований с «бесконечным» числом приборов. В замкнутой однородной сети массового обслуживания СМО с дисциплиной IS тождественна системе с

ri N (N – число требований, циркулирующих по сети)

параллельными приборами, в которой, очевидно, отсутствует очередь;

FS (Finite Service) – обслуживание требований «конечным» числом приборов. В замкнутой однородной сети обслуживания система с дисциплиной FS тождественна системе с ri N параллельными и одинаковыми обслуживающими приборами. При этом, если в i-й СМО имеется свободный прибор, то требование обслуживается так же, как и в системе с дисциплиной IS. Но если все приборы заняты, то вновь

поступившее требование получает отказ и с вероятностью ij переходит в j-ю СМО.

17.6.3. Характеристики функционирования СеМО

Анализ поведения мультисервисных систем с применением методов теории сетей массового обслуживания позволяет получить ряд узловых и сетевых характеристик для оценки качества обслуживания при передаче гетерогенного трафика. Узловые характеристики оценивают функционирование каждой отдельной СМО, а сетевые характеристики оценивают функционирование сети в целом.

В основе моделирования разомкнутых и замкнутых СеМО лежит метод эквивалентных преобразований сети, который заключается в представлении марковской СеМО, состоящей из L узлов, в виде L независимых марковских СМО типа М / М / r . Рассчитанные c помощью фундаментальных соотношений теории массового обслуживания характеристики отдельных СМО данного типа в точности соответствуют узловым характеристикам исходной СеМО, т.е. модели являются эквивалентными.

Узловые характеристики i-й СМО, i 1, L (для простоты приводим характеристики однородных марковских СеМО):

для многоканальной СМО, где

i1

среднее число заявок в открытой СеМО

i1

среднее время ожидания заявкой обслуживания в сети

i 1

здесь i – коэффициент передачи для узла i, показывающий среднее число попаданий заявки в узел i за время ее нахождения в сети;

среднее время пребывания заявки в сети

i 1

Универсальные методы анализа СеМО, описанные в [1, 7], подходят для большого числа реальных инфокоммуникационных систем и включают в себя формулы расчета сетей массового обслуживания практически всех видов. Однако эти методы являются сложными для понимания и требуют для своего применения больших вычислительных мощностей и длительного времени обработки

результата, особенно, если речь идет о сложных мультисервисных сетях большой размерности, оперирующих большими объемами трафика.

Поэтому далее будут рассмотрены более простые методы анализа СеМО с заведомо наложенными ограничениями на их применение.

17.7. Анализ замкнутых однородных марковских СеМО

Вычисление вероятностей состояний СеМО P n1, n2, ..., nL по

формуле (17.15) для больших значений L и N может привести к потере значимости и некорректным результатам, поэтому ее применение носит ограниченный характер.

Во многих случаях для анализа вероятностно-временных характеристик СеМО можно использовать метод средних значений, основанный на рекуррентных соотношениях [8].

17.7.1. Ограничения, накладываемые на моделируемую СеМО

Рассмотрим замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания, состоящую из L узлов с однородным потоком из N заявок при следующих предположениях:

1.Все узлы замкнутой СеМО одноканальные.

2.Накопители всех узлов имеют емкость равную количеству требований, циркулирующих в СеМО, – N, таким образом, не происходит отказов в обслуживании.

3.После завершения обслуживания в каком-либо узле передача заявки в другой узел происходит мгновенно.

4.Переход заявки из очереди в обслуживающий прибор происходит мгновенно.

5.Заявки выбираются из очереди каждого узла в соответствии с бесприоритетной дисциплиной обслуживания FCFS (в порядке поступления).

Параметры моделируемой СеМО соответствуют описанным в разделе 17.6.1.

Метод расчета средних значений замкнутой однородной марковской СеМО включает в себя два этапа:

1)расчет коэффициентов передачи в узлах замкнутой СеМО;

2)расчет узловых и сетевых характеристик замкнутой СеМО.