Лабораторная работа по теме «Методы решения нелинейных уравнений»
1.2.1. Вопросы, подлежащие изучению
Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.
Этапы численного решения уравнения.
Аналитический и графический методы отделения корней.
Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Сходимость метода итерации, выбор начального приближения, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.
Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.
Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.
Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.
Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Алгоритмы и программы решения нелинейных уравнений на языке программирования.
1.2.2. Задание
Выбрать индивидуальное задание по указанию преподавателя из табл. 1.2-1:
нелинейное уравнение;
метод решения нелинейного уравнения для «ручного расчета»;
метод решения нелинейного уравнения для «расчета на ПК».
Отделить корни уравнения.
Провести исследование нелинейного уравнения для его решения.
проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;
выбрать начальное приближение;
сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.
Провести «ручной расчет» трех итераций.
Оценить погрешность результата «ручного расчета».
Составить схему алгоритма, написать программу для решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК» и провести контрольное тестирование программы, воспользовавшись исходными данными и результатами примера из п.п.1.2-1.5.
Решить нелинейное уравнение с точностью
,
воспользовавшись написанной программой
для «расчета на ПК».Построить зависимость числа итераций от заданной точности –n(E).
1.2.3. Варианты задания
Таблица 1.2-1
№ |
Уравнение |
t |
p |
№ |
Уравнение |
t |
p |
1 |
x - cos(x / 3) = 0 |
1 |
4 |
46 |
2x –xlgx – 7 = 0 |
2 |
3 |
2 |
x + ln(4x) – 1 = 0 |
3 |
1 |
47 |
x+ cosx = 1 |
1 |
4 |
3 |
ex – 4 e-x – 1 = 0 |
2 |
4 |
48 |
x + lg(1 + x) = 1,5 |
1 |
3 |
4 |
x ex – 2 = 0 |
3 |
2 |
49 |
2 sin(x – 0,6) = 1,5 |
3 |
1 |
5 |
4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0 |
1 |
3 |
50 |
lg(1 + 2x) = 2 – x |
1 |
4 |
6 |
2 – x – sin(x / 4) = 0 |
4 |
1 |
51 |
lg(x)/(x + 1)2 = 0 |
1 |
3 |
7 |
x2 + ln(x) – 2 = 0 |
1 |
2 |
52 |
|
1 |
2 |
8 |
cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0 |
2 |
3 |
53 |
3x + cosx + 1 = 0 |
3 |
4 |
9 |
4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0 |
2 |
1 |
54 |
2 – x lg(x)=0 |
2 |
3 |
10 |
5 ln(x) – x1/2 = 0 |
2 |
3 |
55 |
(x – 1)2
=
|
4 |
1 |
11 |
ex + x3 – 2 = 0 |
1 |
4 |
56 |
(2 – x)ex = 0,5 |
1 |
3 |
12 |
3 sin (x1/2) + x – 3 = 0 |
3 |
1 |
57 |
2,2x – 2x = 0 |
1 |
2 |
13 |
0.1x2 – x ln(x) = 0 |
1 |
4 |
58 |
5x – 8log(x) = 8 |
4 |
1 |
14 |
cos(1 + 0.2x2) – x = 0 |
1 |
3 |
59 |
x – ex = 0 |
3 |
4 |
15 |
3 x – 4 ln(x) – 5 = 0 |
1 |
2 |
60 |
x = (x + 1)3 |
2 |
3 |
16 |
sin(1 – 0.2x2) – x = 0 |
3 |
4 |
61 |
x =
|
1 |
2 |
17 |
ex – e-x – 2 = 0 |
2 |
3 |
62 |
sin0,5x + 2 =(x/2)2 |
1 |
4 |
18 |
x – sin(1 / x) = 0 |
4 |
1 |
63 |
2 = 0,5x + log(x – 1) |
4 |
3 |
19 |
ex + ln(x) – x = 0 |
1 |
3 |
64 |
sin (0,5 + x) = 2x – 0,5 |
1 |
2 |
20 |
1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0 |
1 |
2 |
65 |
lg(2 + x) + x2 = 3 |
3 |
1 |
21 |
(1–x)1/2–cos(1–x) = 0 |
4 |
1 |
66 |
lg(1 + 2x) = 2 – x |
1 |
2 |
22 |
sin(x2)+cos(x2)–10x = 0 |
3 |
4 |
67 |
ln( x/6) +
|
4 |
3 |
23 |
x2 – ln(1 + x) – 3 = 0 |
2 |
3 |
68 |
log2( x) = 1/(x+2) |
1 |
4 |
24 |
cos(x / 2) ln(x – 1) = 0 |
1 |
2 |
69 |
e–x = 2 – x2 |
3 |
1 |
25 |
cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0 |
1 |
4 |
70 |
2ex = x2 - 2 |
2 |
4 |
26 |
3x – e-x = 0 |
4 |
3 |
71 |
2x2 – ex/2 = 0 |
3 |
2 |
27 |
4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0 |
1 |
2 |
72 |
2 arctg x – 3x + 2 = 0 |
1 |
3 |
28 |
sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0 |
3 |
1 |
73 |
sin (x – 0,5) – x + 0,8 = 0 |
1 |
2 |
29 |
x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0 |
1 |
2 |
74 |
(x – 3)2 lg(x – 2) = – 2 |
2 |
1 |
30 |
0.25x3 + cos(x / 4) = 0 |
4 |
3 |
75 |
x + 3 + cos x –x2 = 0 |
4 |
1 |
31 |
2 – x = ln x |
1 |
4 |
76 |
(x – 1)2 lg(x+11) = 1 |
1 |
2 |
32 |
x2 + 4sinx = 0 |
3 |
1 |
77 |
e2x cos(2x) + x = 0 |
2 |
3 |
33 |
tg (0,36x + 0,4) = x2 |
2 |
4 |
78 |
x2 cos2x = – 1 |
2 |
1 |
34 |
1 + lgx = 0,5 |
3 |
2 |
79 |
(2 – x ) 2x = 1 |
1 |
4 |
35 |
2 lgx – x/2+ 1 = 0 |
1 |
3 |
80 |
( x – 2)2 – 1 = 2x |
2 |
3 |
36 |
x – sinx = 0,25 |
4 |
1 |
81 |
ex + x +1 = 0 |
3 |
1 |
37 |
lg (0,4x + 0,4) = x2 |
1 |
2 |
82 |
0,5x – 3 = (x + 2)2 |
4 |
1 |
38 |
|
2 |
3 |
83 |
(x – 2)2 lg(x + 5) = 1 |
1 |
4 |
39 |
lgx –7/(2x+6)= 0 |
2 |
1 |
84 |
(x –4)2 log(x – 3) = 1 |
3 |
2 |
40 |
tg(0,5x + 0,2) = x2 |
1 |
4 |
85 |
2x2 – 2x = 20 |
1 |
2 |
41 |
3x – cosx – 1 = 0 |
3 |
1 |
86 |
x log3(x + 1) = 1 |
2 |
3 |
42 |
x + lgx = 0,5 |
2 |
4 |
87 |
0,5x – 3 + (x + 1)2 = 0 |
2 |
1 |
43 |
1,8x2 – sin10x = 0 |
3 |
2 |
89 |
2 arcctg x – x + 3 = 0 |
2 |
3 |
44 |
ctg 1,05x – x2 = 0 |
2 |
3 |
89 |
5x – 6x – 3 = 0 |
1 |
4 |
45 |
x lgx – 1,2 = 0 |
4 |
1 |
90 |
2 cos (x)+ x2 = 3x – 2 |
3 |
1 |
= 1/x
=
0
–
cos0,387x = 0В табл. 1.2-1 t – номер метода для «расчета на ПК»; p– номер метода для «ручного расчета».
Номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.