Этап уточнения корня

На этом этапе завершается решение уравнения, то есть находится приближенное значение корня уравнения с требуемой точностью. Это значит, что приближенное решение и точное, которое неизвестно, отличается не больше, чем на заданную точность.

Метод половинного деления (мпд)

Дано уравнение f(x)=0, задан отрезок (a,b), известно, что на отрезке функция непрерывна на (a,b) и f(a)*f(b) < 0.

Вычисляем значение функции f(c) в середине отрезка c=(a+b)/2.

Если f(c) = 0, значит получили точное решение уравнения .

Иначе выбираем ту половину отрезка –или (a,c), или (c,b), на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки.

На новом суженном отрезке вычисляем значение функции в середине и повторяем такие же вычисления.

В результате получаем систему сужающихся вокруг точного значения корня отрезков. Последовательность , , ,…,a_n, … стремится к точному корню слева, последовательность , , ,…,b_n, …_. стремиться к точному корню справа. Длина каждого отрезка [a_k,b_k] вдвое меньше длины предыдущего отрезка.

Рис. 4 Метод половинного деления

Процесс сужения отрезков следует закончить тогда, когда длина отрезка [a_n,b_n]станет меньше, чем требуемая точность. Тогда любая точка этого отрезка будет отличаться от точного решения не больше чем на e.

| x^*- x_n | < (b_n-a_n) < e (3)

Двойное неравенство (3) связывает три фундаментальные для численных методов величины:

погрешность < оценка погрешности < требуемая точность

Рассуждения здесь следующие: погрешность вычислить не удается так как неизвестно точное решение, однако требуется получить приближенное решение, у которого погрешность меньше чем точность e. Это можно сделать если получить оценку погрешности, которая будет всегда гарантировано больше чем погрешность и добиться того, чтобы оценка погрешности стала меньше требуемой точности. Тогда и неизвестная погрешность будет меньше требуемойточности.

Как правило в качестве ответа берут середину отрезка (a_n,b_n):

x_n =(a_n+b_n)/2 (4)

Рис. 5 Блок-схема МПД

Выше обсуждался метод прогонки и выяснили что для нахождения корней с точностью в 100 раз меньшей длины первоначального отрезка (a,b) потребуется сделать 100 шагов, правда корней на этом отрезке может быть много и они все будут найдены. Для решения этой же задачи, но с одним корнем на отрезке (a,b) методом МПД потребуется выполнения условия 2ⁿ >100 и при этом n=7, так как 2⁷ = 128.

Получается, что МПД имеет линейную и, что важно, безусловную сходимость, то есть для получения решения не требуется никаких условий. Погрешность решения за каждую итерацию уменьшается в два раза и можно оценить число итераций n для достижения заданной точности:

Метод пропорциональных частей. Метод хорд

Метод при тех же предположениях, что и МПД обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок делится не пополам, а в отношении |f(a)|/|f(b)|. При таком делении отрезка обеспечивается более быстрое нахождение корня. Безусловная сходимость метода сохраняется.

Алгоритм решения такой же, как и в МПД: сравниваются знаки функции во внутренней точке, которая определяется в соответствии с отношением |f(a)|/|f(b)|. Выбирается та часть отрезка, на концах которого знаки функции разные. При таком взгляде на метод его называют метод пропорциональных частей и его можно считать модификацией МПД. Следует заменить, что ни о каких хордах речи здесь пока нет.

Однако из геометрии получается так: чтобы найти такую внутреннюю точку достаточно построить хорду, соединяющую точку (a, f(a)) и точку (b, f(b)). А дальше путем решения линейного уравнения найти точку x пересечения хорды с осью абсцисс.

Уравнение прямой, проходящей через две точки записывается следующим образом

= ,

и тогда при y = 0 получаем

(5)

После этого, как и в МПД, выбрать одну из двух частей отрезка (a,b). Если f(a)*f(x) < 0, тогда выбирается левая часть отрезка: b = x, иначе выбирается правая часть отрезка: a = x. На новом суженном отрезке снова строится хорда и т.д.. Процесс сужения отрезков следует закончить, как и в МПД, тогда, когда длина отрезка (a_n,b_n ) станет меньше, чем требуемая точность.

Как и МПД, метод пропорциональных частей имеет безусловную сходимость.

Рис. 6 Блок схема метода пропорциональных частей

Его отличие от МПД состоит в том, что здесь уже используется информация о значениях функции f(x), в то время как в МПД информация только о знаке функции. Метод стал сложнее, информации о функции f(x) используется больше, стоит ожидать, что скорость сходимости у него будет выше, чем в МПД.

К использованию хорды для поиска приближенного значения решения уравнения f(x)=0 можно прийти и в результате таких рассуждений: сложное уравнение f(x)=0 заменим на линейное уравнение - уравнение прямой, проходящей через две точки. Его решаем аналитически. Делаем это многократно. Здесь используется следующий прием решения задачи: сложную задачу, решение которой надо найти, заменяют на последовательность решений более простой задачи.

Последовательность полученных решений x₀, x₁, x₂, …, x_n, …стремиться к точному решению x^*, ведь это тот же метод пропорциональных частей и следующие точки x_n. вычисляются с использованием (5), но с выбором одного из двух отрезков. При таком выборе обе границы отрезков от шага к шагу могут меняться.

Однако, если рассматривать такие функции f(x), у которых вторая производная f ^’’(x) не меняет знак на отрезке (a,b), то одна из границ отрезка в процессе поиска меняться не будет. Эта точка называется неподвижной и все построенные хорды будут иметь одну общую точку.

При таких ограничениях на функцию f(x), метод пропорциональных отрезков получил название метода хорд.

Рис.7 Метод хорд. Два графика с разными неподвижными точками.

Неподвижная точка x_неп определяется заранее один раз так:

f(x_неп)*f ^’’(x_неп) > 0 (6),

то есть - если f(a)*f ^’’(a) > 0,тогда x_неп = a и x₀ = b,

иначе x_неп =b и x₀ = a

и (5) будет выглядеть следующим образом:

(7)

Осталось получить оценки погрешности.

Докажем теорему. Пусть x^* - точное значение корня, а – приближенный корень уравнения f(x) = 0, находящиеся на одном и том же отрезке (a,b), и

| f ^’(x)| >= m₁ > 0 на отрезке (a,b).

Тогда справедлива оценка погрешности

| - x^*| <= (8)

Доказательство. При условиях данной теоремы можно применить теорему Лагранжа^* из мат. анализа, из которой следует, что

f( ) – f(x^*) =( - x^*) f ^‘(c), где с –некоторая точка из отрезка (a,b).

Так как f(x^*)= 0 и | f ^’(x)| >= m₁, получим |f( ) – f(x^*)| = |f( )| > m₁ | - x^*|.

Следовательно | - x^*| <= . Теорема доказана.

Такая оценка погрешности может быть грубой.

Более точная оценка получается при условии, что для функции f(x) на отрезке (a,b) выполняется условие 0 < m₁ <= | f ^’(x)| <= M₁ < .

Тогда

| x^* - | <= (9)

В качестве M₁ и m₁ могут выступать наибольшее и наименьшее значение модулей производной f ‘(x) на отрезке (a,b) соответственно.

Если же выполняется еще и условие M₁ <= 2 m₁ , то получается, что

| x^* - | <= (10)

_________________________

*Теорему Лагранжа из мат.анализа можно сформулировать следующим образом: для дифференцируемой функции f(x) на отрезке (a, b) всегда найдется точка с, угол наклона касательной в которой будет таким же как и у хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Рис. 8. Геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа

Блок-схема метода хорд представлена на рис.9

Рис. 9 Блок-схема метода хорд