Метод простых итераций

Это один из наиболее важных методов численного решения уравнения.

Идея метода состоит в преобразовании уравнения f(x)=0 к виду

x = j(x) (11)

и запуска процесса итераций

x₁=j(x₀), x₂=j(x₁), …. x_n+1=j(x_n), … x₀ – любое из отрезка (a,b). (12)

При выполнении некоторых условий эта последовательность стремиться к точному решению уравнения (11) и удается получить оценку погрешности очередного приближения x_n .

Эти некоторые условия, доказательство того, что последовательность сходится к точному решению и получение оценки погрешности приведем чуть ниже, а сейчас заметим, что первоначально всё начиналось с уравнения (1) ( f1(x) = f2(x) ), которое преобразовывалось в каноническое уравнение (2) ( f(x)=0 ). Теперь же каноническое уравнение (2) преобразуется в уравнение (11), которое является частным случаем (1), но функция в левой части (1) всегда одна и та же и очень простая: y=x. Скорее всего именно поэтому метод называется методом простых итераций и именно поэтому появляется возможность запуска итеративного процесса (12).

Ну а теперь к обещанным доказательствам.

Функция j(x) называется сжатием, если выполняется условие

|j(c)- j(d)| <= q|c-d|, где q < 1 (13)

Если функция j(x) дифференцируемая, то (13) можно записать так:

|j ^‘(x)| <= q < 1 (14)

Утверждение, что j(x) сжатие для последовательности (12), приводит к тому, что

|j(x₀)- j(x₁)| <= q|x₀-x₁|. (15)

Докажем следующее утверждение: если j(x) сжатие, то существует единственная неподвижная точка α , в которой α = j( α ).

Предположим противное, то есть существуют две неподвижные точки : α и β, в которых . α = j( α ) и β = j( β ).

Но тогда | α - β |=|j( α ) - j( β )| <=q| α - β |. При q < 1 это возможно если | α – β| = 0, то есть α = β.

В нашем случае это утверждение формулируется так:

Если =j(x) сжатие, то решение уравнения x=j(x) существует и единственное, то есть существует x^* и x^* = j( x^*).

Отсюда следует, что последовательность (12) сходится и её предел равен точному решению .

Осталось получить оценку погрешности метода.

Согласно (15) получаем

| x_n+1 – x_n |=|j( x_n ) - j( x_n-1)| <=q| x_n – x_n-1 | и тогда

| x_n+1 – x_n | <= qⁿ *|x₀ – x₁| = qⁿ a, где a = |x₀ – x₁|.

Справедливо следующее неравенство

| x_p – x_n | <=| x_p – x_p-1 | + | x_p-1 – x_p-2 | + … + | x_n+1 – x_n | <=

<= q^p-1 *a + q^p-2 *a + …+ qⁿ *a <= qⁿ *a*

Учитывая, что x^* получаем оценку погрешности последовательности (12)

| x^* - x_n | <= - (16)

Оценку погрешности можно представить и в таком виде:

| x^* - x_n | <= (16 ¹)

При q <=1/2 справедливо

| x^* - x_n | <= | (16²)

Из (16) можно сделать вывод, что метода простых итераций сходится как геометрическая последовательность, из ( ) - что сходимость метода линейная. Также из (16) следует, что сходимость метода простых итераций зависит от значения q. Чем ближе q к нулю, тем сходимость быстрее, чем ближе к единице, тем сходимость медленнее.

Из (14) следует, что в качестве значения q может выступать наибольшее значение |j ^‘(x)| на отрезке (a,b).

Графическая иллюстрация метода простых итераций представлена на рис. 8, 9, 10, 11.

Рис. 10,11,12, 13 Два примера - метод сходится,

два примера – метод не сходится.

Преобразование уравнения f(x)=0 к равносильному виду x= j(x) может быть выполнено неоднозначно. Иногда удается получить такую j(x), что

|j^‘ (x)|<=q<1, иногда не удается. Рассмотрим универсальные практический прием, гарантирующий получение сжимающегося отображения.

Представим функцию j(x) как

j(x) = х + lf(x), (17)

где l- коэффициент, не равный нулю.

Чем привлекателен такой вид функции j(x). В него входит коэффициент l, значение которого может быть любым. Надо подобрать это значение таким, чтобы выполнялось условие сходимости (14). Более того, надо попытаться сделать так, чтобы сходимость была быстрой. |j¢(x)|=|1 + lf¢(x)| <= q < 1 – это условие сходимости. Но чтобы сходимость была быстрой, хорошо бы иметь q = 0. При всех значениях x этого сделать невозможно, обеспечим это хотя бы в одной точке : 1 + lf¢( ) =0. И тогда l = , а итеративная формула метода простых итераций будет выглядеть так:

(18)

Как выбрать точку ?

Это может быть начало отрезка или конец отрезка, или середина отрезка соответственно: =a, = b, = (b+a)/2, но чаще выбирают такое , в котором и подставляют в (18) значение с учетом знака. По сути значение и не нужно, в знаменатель (18) следует подставить (x), у которого .

Сравним (7) из метода хорд и (18) из метода простых итераций. Очень похожая структура формул. Отличие состоит в знаменателе: если в (7) знаменатель задает тангенс угла наклона хорды, то в (18) знаменатель можно интерпретировать как тангенс угла наклона касательной в некоторой точке, находящейся внутри отрезка (a,b). И в этом случае метод простых итераций превращается в метод секущих. Ведь угол наклона прямой от итерации к итерации не меняется.

Рис. 14 Блок-схема метода простых итераций