Этап отделения корня

Решение нелинейного уравнения разбивают на два этапа. Первый этап – этап отделения корня. Он состоит в нахождении отрезка с одним корнем. Если необходимо найти несколько корней уравнения, то следует найти несколько таких отрезков.

Отделить корень можно графически или аналитически.

Графический способ отделения корней по сути уже обсуждался: строиться график функции f(x) и по этому графику выделяется отрезок с одним корнем.

То, что на отрезке должен быть хотя бы один корень – это очевидно, иначе что же мы будем искать. Почему выдвигается требование – на отрезке должен быть только один корень. Оказывается, это условие использования достаточно быстрых методов уточнения корня, которые могут быть реализованы на втором этапе решения уравнения.

Рис 1. Графическое отделение.

Аналитический метод отделения корня основан на теореме Коши из мат. анализа, которая формулируется следующим образом:

если на отрезке (a, b) функция f(x) непрерывна и на концах отрезка имеет разные знаки, то есть f(a)*f(b) < 0, то существует такая точка x^*, в которой функция f(x^*)=0.

Теорема Коши задает условия существования корня. Сколько корней может быть на таком отрезке? Об этом здесь ничего не сказано.

Как же выглядит условие единственности корня. Его формулируют так:

если выполняется условия существования корня на отрезке (a,b) и функция f(x) монотонна на отрезке (a,b), то на этом отрезке существует только один корень уравнения .f(x)=0.

Что такое монотонность функции? Функция монотонна на отрезке, если она или постоянно возрастает, или постоянно убывает на отрезке (a,b).

Можно пойти дальше и сказать: если функция дифференцируема на (a,b), то её монотонность можно проверить по знаку первой производной:

Если f ^’(x) не меняет знак на всем отрезке (a,b), значит функция монотонна на отрезке (a,b).

Обратите внимание на то, что знак f ^’(x) не должен меняться на всем отрезке (a,b), а не только на концах отрезка, то есть в точках a и b.

Какой вывод можно сделать, если условия теоремы Коши не выполняются? Ну допустим, на концах отрезка значения f(x) имеют один знак? Можно ли сказать, что корня функции f(x) на отрезке (a,b) нет? Нет, такого вывода сделать нельзя. Неизвестно, может корни есть, а может их и нет. А если функция f(x) на отрезке не является непрерывной, то есть имеет разрыв. Тоже самое, относительно корня функции ничего сказать нельзя.

И ещё. Условие существования корня уравнения из теоремы Коши охватывает не все варианты решения: если функция касается оси x, решение уравнения существует, но теорема Коши не дает ответа на этот вопрос. Далее, если функция имеет разрыв на отрезке (a,b), то о применимости теоремы Коши не может быть и речи.

Рис 3. Три графика

В итоге результатом выполнения этапа отделения корня есть отрезок (a,b) c одним корнем функции f(x).

Можно ли сказать, что задача уже решена, то есть найдено приближенное значение корня? Да, задача конечно решена, и в качестве приближенного значения корня можно взять любую точку из отрезка (a,b). Эта точка будет отличаться от точного корня, который неизвестен, но лежит внутри отрезка, не больше чем на длину отрезка (b-a). Значит решение задачи получено с точностью (b-a). Что не устраивает? Скорее всего приближенное решение будет грубым или очень грубым, то есть получено с недостаточной точностью.

Возникает необходимость уточнения решения. Этим занимаются на втором этапе решения уравнения, который так и называется- этап уточнения корня.

От требования единственности корня на отрезке можно отказаться. Но тогда процесс уточнения корня, то есть получения решения с требуемой точностью e сильно замедлится. Для этого придется использовать, например, метод прогонки, который состоит в следующем: для функции f(x) надо перебрать значения x от a до b с шагом e и следить за изменением знака функции f(x). Те отрезки, на которых f(x_k)*f(x_k+1) <0 будут иметь внутри себя точный корень и любая точка из маленького отрезка (x_k,x_k+1) будет отличаться от точного корня x^* не больше чем на e. Для примера, если требуемая точность в 100 раз меньше длины первоначального отрезка, то для того чтобы её обеспечить надо перебрать все значения x от a до b с шагом (b-a)/100, то есть выполнить 100 шагов. Это очень много. Наверно можно модифицировать метод прогонки, но количество вычислений всё будет примерно того же порядка.