Мацкевич А.Г., Шакин В.Н., Загвоздкина А.В.

Материалы пособия по численным методам, готовящегося к изданию

Используемая литература.

https://intuit.ru/studies/courses/2260/156/lecture/27239?page=3

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=metody-resheniya-nelineynykh-uravneniy

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=metody-resheniya-nelineynykh-uravneniy

https://lib.brsu.by/sites/default/files/books/%D0%9C%D0%A7%D0%90.pdf

https://infopedia.su/14x11950.html

Б.П.Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики

Н.С.Бахвалов. Численные методы

А.П.Гловацкая Информатика. Вычислительная математика.2002

А.П.Гловацкая Вычислительные модели.2021

Глава 1

Решение нелинейных и трансцендентных уравнений

Одной из важнейших и часто встречающихся задач математики является задача решения уравнений с одним неизвестным. В самом общем виде эту задачу можно представить так: задано уравнение

f1(x) = f2(x), (1)

где f1(x) и f2(x) функции одной переменной. Нужно найти такое значение x^*, при котором это уравнение обращается в тождество, то есть f1(x^*)==f2(x^*). Такая постановка задачи известна еще из школьного курса математики.

Однако для нахождения решения уравнение (1) удобнее представить

в каноническом виде:

f(x) = 0 (2)

Для этого надо перенести функцию f2(x) из правой части уравнения в левую. Кажется, просто и очевидно, что даже не стоит акцентировать на этом внимание. Но это не так. Представление уравнения в виде (2) позволяет перейти от задачи поиска такого x*, которое обращает (1) в тождество, в задачу нахождения таких x^* при которых функция f(x) принимается значения равные нулю. Что изменилось? Если решения (2) будут найдены, то они совпадут с решениями (1). В этом смысле ничего не изменилось. Но в (2) используется одна функция f(x) и теперь надо искать точки, в которых f(x) принимает значения равные нулю. А эту задачу уже трактуют так: дана функция f(x), надо найти точки, в которых она равна нулю.

В зависимости от вида функции f(x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых значение функции f(x) представляет собой полином n-й степени:

f(x) = Р_n (х) = a₀+ a₁x + a₂x² + …+ a_nxⁿ = 0

Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x)в таких уравнениях представляет собой хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую или обратную тригонометрическую.

Можно ли решить уравнение f(x)=0, то есть найти точные значения x^* ?

Оказывается, не всегда. Из школьного курса известны решения алгебраических уравнений первого и второго порядка, которые получены с использованием арифметических операций и операции извлечения корня. Говорят, что эти решения получены в радикалах. Существуют решения алгебраических уравнений третьего и четвертого порядка. А вот для более высоких степеней алгебраических уравнений доказана теорема Абеля-Руффини, которая гласит, что алгебраические уравнения пятой степени и выше не имеют решений в радикалах. Впервые это утверждение было доказано ещё в 1799 году. Наличие «трансцендентности» также приводит к тому, что точные решения уравнений получаются при очень ограниченном виде функции f(x). Получается, что почти всегда

точного решения уравнения f(x) = 0 найти не удается.

То, что решения уравнения f(x) = 0 есть, можно убедиться, построив график функции f(x). Если при этом найдутся точки, в которых график функции пересекает, или, хотя бы касается оси абсцисс, то это значит решения уравнения f(x) = 0 есть. Если таких точек нет, значит уравнение f(x)= 0 не имеет решения.

Конечно можно на этом успокоится и принять за решения эти точки, полученные графически, но решения будут очень приблизительными и оценить их точность, то есть отличие от точного результата, не представляется возможным.

Это не наш путь. Если точного решения задачи найти не удается, следует попытаться получить приближенное решение, при этом хорошо бы иметь возможность оценивать погрешность и гарантировать получение решения с заданной точностью. Если это получиться, то будет найдено приближенное решение уравнения f(x) = 0 с требуемой точностью. Это конечно не есть точное решение, но уже многое. И это решение лучше, чем ничего.

Поиском таких решений и будем заниматься ниже.

На чем будут основаны эти поиски? Очевидно, что при получении таких решений следует опираться на механизмы исследования функций, которые разработаны в таком разделе математики как математический анализ. Получилось что-то похожее на лозунг:

Всю мощь мат.анализа направим на решение уравнения f(x)=0.