2.3 Практическая реализация

Для исследования переходных процессов в данной работе заданы следующие значения параметров передаточной функции: ; ; (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Исследуемая схема и ее параметры

На вход модели подаётся ступенчатый сигнал (Step). Результаты исследования зависимости длительности переходного процесса t_п от параметров фильтра ( , , ) в контуре управления представлены в таблицах 2.1-2.3 и на графиках 2.2-2.4.

k = 0,5

k = 1

k = 2

Рисунок 2.2а – Пример графиков переходный процессов для трёх различных значений k

Таблица 2.1 – Зависимость t_п от параметра

Kmax	100	100	100	100	100	100	100	101,3	101,5	101,7	101,7
	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
tп, мс	4565	2196	1115	771	591	489	472	365	324	291	264

Рисунок 2.2б – Зависимость времени переходного процесса от параметра

Из рисунка 2.2б видно, что с увеличением коэффициента усиления k время переходного процесса t_п уменьшается, что свидетельствует о повышении быстродействия системы.

T1 = 0,1

T1 = 0,2

T1 = 0,4

Рисунок 2.3а – Пример графиков переходный процессов для трёх различных значений T₁

Таблица 2.2 – Зависимость t_п от параметра

Kmax	122,3	109,8	100	100	100	100	100
	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
tп, мс	1079	1460	1115	1980	2970	3931	4872

Рисунок 2.3б – Зависимость времени переходного процесса от параметра

Параметр постоянной времени форсирующего звена T₁ реагирует на скорость изменения ошибки. При малых значениях T₁ (от 0,1 до 0,4) наблюдаются колебания и небольшое перерегулирование при относительно малом времени установления переходного процесса t _п. С ростом T₁ перерегулирование уменьшается (при 0,2 ≥ T1 ≥ 0,4) и исчезает при T1 ≥ 0.4, а система становится апериодической. Однако дальнейшее увеличение T₁ приводит к замедлению системы (увеличению t _п), так как форсирующее звено перестает компенсировать инерционность.

Таблица 2.3 – Зависимость t_п от параметра

Kmax	100	100	100	103	107,7	111,2	114,2
	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
tп, мс	6582	3403	1506	930	1865	1964	2001

Рисунок 2.4 – Зависимость времени переходного процесса от параметра

Параметр инерционного звена T₂ определяет инерционность системы, т.е. насколько быстро система может реагировать на управляющие команды. При очень малых T₂ система обладает максимальным потенциальным быстродействием, но из-за потери запаса устойчивости (возникает перерегулирование, из-за которого система становится «слишком отзывчивой») она входит в режим медленно затухающих колебаний. На графике 2.3а для T₂ = 0,1 видно, что выходной сигнал очень быстро "подскакивает" к установившемуся значению, но затем он еще очень долго колеблется около него с малой амплитудой, прежде чем окончательно установится на значении, равному 100. Эти долгие колебания и определяют большую величину t _п.

По мере увеличения T₂ увеличивается устойчивость системы, что приводит к уменьшению колебаний и, соответственно, t _п. На рисунке 2.4 при T₂ = 0,6 наблюдается минимальное значение t _п. Дальнейшее увеличение T₂ продолжает увеличивать инерционность системы, однако это приводит к увеличению t _п и резкому росту перерегулирования γ. Это говорит о том, что система входит в колебательный режим и начинает хуже справляться с быстрыми изменениями.

Зависимость величины перерегулирования γ от параметров фильтра рассчитывается по формуле 1.2. Полученные данные внесены в таблицы 2.4-2.6, а графики зависимостей представлены на рисунках 2.5-2.7.

Таблица 2.4 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0	2,3	3,2	3,4	3,5	3,5	3,4	3,3	3,2	3,2

Рисунок 2.5 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

Таблица 2.5 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

	0,04	0,24	0,44	0,64	0,84	1,04	1,24	1,44	1,64	1,84
	40,8	7,2	0	0	0	0	0	0	0	0

Рисунок 2.6 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

Таблица 2.6 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2
	0	0,2	5,3	10,4	14,1	16,8	18,8	20,4	21,7	22,9

Рисунок 2.7 – Зависимость величины перерегулирования от параметра

Графики 2.6 и 2.7 подтверждают выводы к соответствующим графикам 2.3б и 2.4, рассмотренным ранее.

Далее рассмотрим зависимость установившегося значения ошибки слежения от коэффициента усиления k фильтра в контуре управления. Данные исследования представлены в таблице 2.7, а график представлен на рисунке 2.8.

Таблица 2.7 – Зависимость установившегося значения ошибки слежения от коэффициента усиления

k	0,5	1	2	3	4	5
Ошибка слежения	0,1651	-6,228E-05	-5,586E-07	-2,443E-10	-3,87E-11	-1,108E-12
k	6	7	8	9	10
Ошибка слежения	-2,1E-11	-4,795E-11	-6,753E-11	-8,006E-11	-8,754E-11

Рисунок 2.8 – Зависимость ошибки слежения от параметра (Step)

Для системы с астатизмом 1-го порядка установившаяся ошибка при ступенчатом воздействии теоретически должна быть равна нулю. Результаты моделирования это подтверждают: при k ≥ 1 ошибка становится пренебрежимо малой (порядка 10⁻⁵ и менее).

Заменим блок Step на Ramp (линейное воздействие), рисунок 2.9 и выполним действия, аналогичные исследованию зависимости ошибки слежения для ступенчатого воздействия. Данные представлены в таблице 2.8 и на графиках 2.10-2.11.

Рисунок 2.9 – Исследуемая схема и ее параметры

Таблица 2.8 – Зависимость установившегося значения ошибки слежения от коэффициента усиления

k	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ошибка слежения	1,6	0,8	0,4	0,27	0,2	0,16	0,13	0,11	0,1	0,09	0,08
tп, мс	4456	2003	880	1000	1163	1125	1257	924	1000	766	891

Рисунок 2.10 – Зависимость ошибки слежения от параметра

Рисунок 2.11 – Зависимость времени переходного процесса от параметра

Для системы с астатизмом 1-го порядка при линейном воздействии существует ненулевая установившаяся ошибка, которая, как и при ступенчатом воздействии, уменьшается с увеличением коэффициента усиления k (рисунок 2.10). Зависимость времени переходного процесса t _п от k (рисунок 2.11) носит нелинейный характер, что объясняется изменением запаса устойчивости и колебательностью системы при разных k. Наблюдаемая нестабильность значений t _п на графике – это следствие того, что переходной процесс при разных k имеет разную форму (колебательную или монотонную), что по-разному влияет на момент достижения 5%-й зоны.

На рисунке 2.12 представлена схема с астатизмом 2 порядка и квадратичным воздействием.

Рисунок 2.12 – Схема с астатизмом и квадратичным воздействием

Установим фильтр с передаточной функцией (2.4) и исследуем изменение ошибки слежения при ступенчатом, линейном и квадратичном воздействиях. Данные представлены в таблицах 2.9-2.11 и на графиках 2.13-2.15.

Таблица 2.9 – Зависимость ошибки слежения при ступенчатом воздействии

	0,5	1	2	3	4	5
Ошибка слежения	-3,871	0,4025	2,07E-05	-1,06E-07	-5,02E-10	-7,25E-13
	6	7	8	9	10
Ошибка слежения	-2,13E-14	-1,78E-15	0	0	0

Рисунок 2.13 – Зависимость ошибки слежения при ступенчатом воздействии

Таблица 2.10 – Зависимость ошибки слежения при линейном воздействии

	0,5	1	2	3	4	5
Ошибка слежения	-0,75	0,00029	0,00068	-7,26E-05	2,78E-09	5,69E-09
	6	7	8	9	10
Ошибка слежения	3,76E-11	-4,83E-13	0	0	0

Рисунок 2.14 – Зависимость ошибки слежения при линейном воздействии

Таблица 2.11 – Зависимость ошибки слежения при квадратичном воздействии

	0,5	1	2	3	4	5
Ошибка слежения	0,82	0,405	0,2	0,133	0,1	0,08
	6	7	8	9	10
Ошибка слежения	0,0667	0,05714	0,05	0,04444	0,04

Рисунок 2.15 – Зависимость ошибки слежения при квадратичном воздействии

Сравнение полученных графиков показывает, что при ступенчатом воздействии (рисунок 2.13), система с астатизмом 2-го порядка имеет нулевую установившуюся ошибку при достаточно большом k. При линейном воздействии (рисунок 2.14) система также обеспечивает нулевую установившуюся ошибку при k ≥ 8, что соответствует ее способности точно отслеживать сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью. Однако, при квадратичном воздействии (рисунок 2.15) система с астатизмом 2-го порядка имеет постоянную ненулевую установившуюся ошибку, величина которой обратно пропорциональна коэффициенту усиления k.