4. 1.4 Расчёт интегральных функций распределения p(t) и f(t)

Несмотря на то, что критерий Пирсона не подтвердил закон Вейбулла на данном уровне значимости, в рамках выполнения работы осуществляем расчёт интегральных функций по методике закона Вейбулла для найденных параметров a и b.

Определяем значения интегральных функций распределения отказов F(t) и вероятностей безотказной работы P(t) по интервалам наработки на основе теоретических вероятностей P(t_i):

Вероятности отказов:

F(t₁) = 0,112; F(t₂) = 0,112 + 0,307 = 0,419; F(t₃) = 0,419 + 0,324 = 0,743; F(t₄) = 0,743 + 0,17 = 0,913; F(t₅) = 0,913 + 0,066 = 0,979; F(t₆) = 0,979 + 0,017 = 0,996; F(t₇) = 0,996 + 0,004 = 1.

Вероятности безотказной работы:

P(t₁) = 1 − F(t₁) = 1 − 0,112 = 0,888;

P(t₂) = 1 − F(t₂) = 1 − 0,419 = 0,581;

...

P(t₇) = 1 − F(t₇) = 1 − 1 = 0.

Результаты расчета сведены в таблицу 3. По данным таблицы 3 строим графики интегральных функций распределения (рисунок 2).

Таблица 3 – Результаты расчета функций распределения F(t) и P(t)

Функция	1-й (T = 12,5)	2-й (T = 37,5)	3-й (T = 62,5)	4-й (T = 87,5)	5-й (T = 112,5)	6-й (T = 137,5)	7-й (T = 162,5)
F(ti​)	0,112	0,419	0,743	0,913	0,979	0,996	1,000
P(ti​)	0,888	0,581	0,257	0,087	0,021	0,004	0,000
λ(ti​)	0,0043	0,0181	0,0365	0,0581	0,0832	0,1113	0,1426
f(ti​)	0,0038	0,0105	0,0094	0,0051	0,0017	0,0004	0,0000

Рисунок 2 – Графики функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t)

5. 1.5 Расчёт дифференциальных функций распределения f(t) и λ(t)

Рассчитываем интенсивность отказов λ(t) и плотность вероятностей распределения f(t) по интервалам наработки T_i​:

λ(t) = ;

f(t_i​) = P(t_i​)·λ(t_i).

Результаты расчета см. в таблице 3. Графическое изображение кривых λ(t) и f(t) представлено на рисунке 3.

Рисунок 3 – Графики плотности распределения f(t)

и интенсивности отказов λ(t)

Заключение

Обработаны статистические данные эксплуатационных наблюдений за наработками объекта до отказа (объём выборки N = 50) и осуществлена проверка гипотезы о законе их распределения. На основе построенной гистограммы (несимметричный колоколообразный профиль со сдвигом влево) и расчёта коэффициента вариации (v = 0,458) была выдвинута предварительная гипотеза о принадлежности опытных данных к закону распределения Вейбулла, так как значение коэффициента вариации характерно для данного закона (v < 0,8) и соответствует модели «слабого звена» или износным отказам.

С использованием таблиц математической статистики определены параметры двухпараметрического распределения Вейбулла: параметр формы b = 2,38 (указывающий на возрастающую интенсивность отказов) и параметр масштаба a = 63,6 тыс. км. Для строгой количественной оценки применимости данного закона использован критерий согласия χ² Пирсона. После объединения интервалов с малыми теоретическими частотами опытное значение критерия составило χ²_опыт = 6,01. При заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 (так как оценивалось два параметра закона) табличное значение равно χ²_табл = 3,84. Поскольку χ²_опыт > χ²_табл, расхождение между опытными и теоретическими частотами признано существенным, и нулевая гипотеза о принадлежности выборочных данных закону распределения Вейбулла отвергается.

Анализ исходного статистического ряда показывает, что причиной отвержения гипотезы является наличие в выборке значительных выбросов в правой части распределения (наработки 140, 141, 149 и 154 тыс. км при среднем значении 56,5 тыс. км). По результатам расчётов построены графики интегральных функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t), а также дифференциальных функций плотности распределения f(t) и интенсивности отказов λ(t), наглядно демонстрирующие теоретический вид распределения Вейбулла для рассчитанных параметров a и b.