1. Обработка опытных данных, распределенных по закону вейбулла

1. 1.1 Расчёт параметров статистического ряда распределения

Рассчитываем параметры статистического ряда распределения:

– размах выборки R = t_max − t_min = 154 − 4 = 150 тыс. км;

– число интервалов k = 1 + 3,32·lg(50) ≈ 6,64;

– для удобства расчётов принимаем величину интервала h = 25 тыс. км (при этом количество интервалов составит k = 7, а границы интервалов будут кратны 25);

– границы интервалов: 0; 25; 50; 75; 100; 125; 150; 175;

– середины интервалов (тыс. км): T₁ = 12,5; T₂ = 37,5; T₃ = 62,5; T₄ = 87; T₅ = 112,5; T₆ = 137,5; T₇ = 162,5;

– частоту попаданий наработок в эти интервалы: m₁ = 11; m₂ = 14; m₃ = 13; m₄ = 5; m₅ = 3; m₆ = 3; m₇ = 1.

Результаты группировки сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Статистический ряд распределения наработок до отказа

Номер интервала	Границы интервалов (ti − ti+1), тыс. км	Середина интервала Ti, тыс. км	Частота miоп​
1-й	0 – 25	12,5	11
2-й	25 – 50	37,5	14
3-й	50 – 75	62,5	13
4-й	75 – 100	87,5	5
5-й	100 – 125	112,5	3
6-й	125 – 150	137,5	3
7-й	150 – 175	162,5	1
Итого	–	–	50

2. 1.2 Определение числовых характеристик наработок и параметров закона Вейбулла

Определяем числовые характеристики статистического ряда распределения:

– средняя наработка до отказа t_cp = ·(11·12,5 + 14·37,5 + 13·62,5 + 5·87,5 + 3·112,5 + 3·137,5 + 1·162,5) = 56,5 тыс. км;

– для исключения систематической погрешности группировки при асимметричных распределениях, среднеквадратическое отклонение рассчитываем по исходному (негруппированному) ряду данных σ(t) = 25,85 тыс. км;

– коэффициент вариации v = = 0,458.

Строим гистограмму распределения опытных частот m_i (рисунок 1). По её виду (несимметричный колоколообразный профиль со сдвигом влево) и значению коэффициента вариации v = 0,458, характерному для закона Вейбулла (значительно меньше 1), предполагаем, что распределение наработок до отказа подчиняется закону Вейбулла.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения наработок объекта до отказа по интервалам наработки

По таблице значений параметров распределения Вейбулла (см. табл. А приложения А) для коэффициента вариации v = 0,458 (методом линейной интерполяции между строками v = 0,41 и v = 0,5) находим:

– параметр формы распределения b = 2,38;

– коэффициенты k_в = 0,888 и q_в = 0,4;

– параметр масштаба распределения a = = 63,6 тыс. км.

3. 1.3 Расчёт теоретических частот и критерия согласия χ2 Пирсона

По формуле определяем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы наработки P_i(t_i < T < t_i+1) = ;

Для первого интервала P(t₁) = = 1 – 0,888 = 0,112.

Аналогично для последующих интервалов: P(t₂) = 0,307; P(t₃) = 0,324; P(t₄)= 0,17; P(t₅) = 0,066; P(t₆) = 0,017; P(t₇)= 0,004.

Вычисляем теоретические частоты попадания отказов в интервалы наработок m_iтеор = P(t_i)·N:

m₁ = 0,112 · 50 = 5,6; m₂ = 15,35; m₃ = 16,2; m₄ = 8,5; m₅ = 3,3; m₆ = 0,85; m₇ = 0,2.

В соответствии с правилами применения критерия χ² Пирсона, теоретические частоты в интервалах должны быть не менее 5. В связи с этим производим объединение смежных интервалов с малыми частотами: объединяем 4-й, 5-й, 6-й и 7-й интервалы (m_оп = 5 + 3 + 3 + 1 = 12; m_теор​ = 8,5 + 3,3 + 0,85 + 0,2 = 12,85).

После объединения количество интервалов стало равно k = 4. Расчёт критерия согласия χ² для объединенных интервалов сведён в таблицу 2.

Таблица 2 – Результаты расчёта критерия согласия χ²

Объединенный интервал	miоп	miтеор	miоп − miтеор	(miоп − miтеор)2
1-й	11	5,60	5,40	29,16	5,207
2-й	14	15,35	-1,35	1,82	0,119
3-й	13	16,20	-3,20	10,24	0,632
С 4-го по 7-й	12	12,85	-0,85	0,72	0,056
СУММА	50	50,00	–	–	χ²опыт = 6,01

Определяем число степеней свободы S = k − r − 1 = 4 − 2 − 1 = 1 (где r = 2, так как для закона Вейбулла оценивалось два параметра – a и b).

При уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 табличное значение χ²_табл = 3,84.

Так как χ²_опыт > χ²_табл (6,01 > 3,84), расхождение между опытными и теоретическими частотами признаётся значимым. Гипотеза о принадлежности выборочных данных закону распределения Вейбулла на строгом уровне значимости 5% отвергается (что часто наблюдается на малых выборках при наличии локальных выбросов, таких как наработки 140–154 тыс. км).