Заключение

Обработаны статистические данные эксплуатационных наблюдений за наработками объекта до отказа (объём выборки N = 40) и осуществлена проверка гипотезы о законе их распределения. На основе построенной гистограммы (резко выраженный спад частот вправо) и расчёта коэффициента вариации (v = 1,26) была выдвинута предварительная гипотеза о принадлежности опытных данных к экспоненциальному закону распределения, так как значение коэффициента вариации близко к характеристическому для данного закона диапазону (v = 0,8…1,2).

Для строгой количественной оценки применимости данного закона использован критерий согласия χ² Пирсона. Опытное значение критерия составило χ²_опыт = 8,93. При заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 табличное значение равно χ²_табл = 3,84. Поскольку χ²_опыт > χ²_табл, расхождение между опытными и теоретическими частотами признано существенным, и нулевая гипотеза о принадлежности выборочных данных экспоненциальному закону распределения отвергается.

Анализ исходного статистического ряда показывает, что причиной отвержения гипотезы является наличие в выборке существенных выбросов (наработки 224,2; 282,6 и особенно 359,2 тыс. км при среднем значении 61,25 тыс. км). Возможно, в выборке присутствуют отказы разных типов (например, смешение внезапных отказов с постепенными износными отказами отдельных деталей), для описания которых более адекватным может явиться закон Вейбулла или смешанное распределение [5]. По результатам расчётов построены графики интегральных функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t), наглядно демонстрирующие теоретический вид экспоненциального распределения для рассчитанного параметра λ.

Контрольные вопросы

1. Как определяют числовые характеристики распределения наработок автомобиля до отказа?

Ответ: Числовые характеристики определяются на основе построенного статистического ряда распределения. В первую очередь рассчитывается средняя наработка до отказа (математическое ожидание) как взвешенная сумма середин интервалов t_cp = . Далее вычисляется среднее квадратическое отклонение σ(t), отражающее рассеивание наработок относительно среднего значения. Отношением среднеквадратического отклонения к средней наработке определяется коэффициент вариации v = , который является ключевым параметром для предварительного выбора закона распределения.

2. Для описания каких отказов используют экспоненциальное распределение?

Ответ: Экспоненциальное распределение используется для описания внезапных отказов элементов и систем. К таким отказам относятся поломки, возникающие при постоянной интенсивности отказов (λ = const) и независимо друг от друга. Примерами могут служить выход из строя электронных компонентов системы освещения, пробой изоляции, внезапные разрушения деталей при перенапряжениях. Этот закон неприменим для описания отказов, связанных с постепенным изнашиванием, усталостью материалов или старением (для них используются нормальный или закон Вейбулла).

3. Постройте графики интегральной функции распределения отказов F(t) и вероятности безотказной работы P(t) для экспоненциального закона распределения.

Ответ: Графики построены в рамках данной лабораторной работы (рисунок 2). Для экспоненциального закона им характерен следующий вид:

– График вероятности отказов F(t) представляет собой монотонно возрастающую кривую, начинающуюся в нуле (F(0) = 0) и асимптотически приближающуюся к единице (F(∞) = 1) по мере роста наработки. На начальном участке кривая имеет наибольшую крутизну;

– График вероятности безотказной работы P(t) является зеркальным отражением F(t) относительно уровня 0,5. Он представляет собой монотонно убывающую кривую, начинающуюся на уровне единицы (P(0) = 1) и асимптотически стремящуюся к нулю (P(∞) = 0). Характерная особенность – резкий спад на начальном этапе эксплуатации с последующим плавным приближением к оси абсцисс.

4. Как проверяют гипотезу о принадлежности опытных данных выбранному распределению с помощью критерия согласия хи-квадрат?

Ответ: Проверка осуществляется путем вычисления опытного значения критерия χ²_опыт и его сравнения с табличным (критическим) значением χ²_табл. Процесс включает следующие этапы:

1) По выбранному закону рассчитываются теоретические частоты m_теор для каждого интервала;

2) Если в каких-либо интервалах теоретическая частота меньше 5, производится объединение смежных интервалов (и опытные, и теоретические частоты в них складываются);

3) Для каждого интервала вычисляется квадрат разности между опытной и теоретической частотой, деленный на теоретическую частоту;

4) Суммированием этих значений по всем интервалам получается χ²_опыт​;

5) Определяется число степеней свободы S = k − r − 1 (где k – число интервалов после объединения, r – число оцениваемых параметров закона);

6) По заданному уровню значимости α (обычно 0,05) и числу S из статистических таблиц находится χ²_табл;

7) Если χ²_опыт ≤ χ²_табл​, гипотезу не отвергают. Если χ²_опыт > χ²_табл, гипотезу отвергают.