1. Обработка опытных данных о надежности, распределенных по экспоненциальному закону

1. 1.1 Расчёт параметров статистического ряда распределения

Рассчитываем параметры статистического ряда распределения:

– размах выборки R = t_max − t_min = 359,2 − 2,6 = 356,6 тыс. км;

– число интервалов k = 1 + 3,32·lg(40) ≈ 6,3;

– для удобства расчётов принимаем величину интервала h = 50 тыс. км (при этом количество интервалов составит k = 8, а границы интервалов будут кратны 5);

– границы интервалов: 0; 50; 100; 150; 200; 250; 300; 350; 400;

– середины интервалов (тыс. км): T₁ = 25; T₂ = 75; T₃ = 125; T₄ = 175; T₅ = 225; T₆ = 275; T₇ = 325; T₈ = 375;

– частоту попаданий наработок в эти интервалы: m₁ = 30; m₂ = 2; m₃ = 4; m₄ = 1; m₅ = 1; m₆ = 1; m₇ = 0; m₈ = 1.

Результаты группировки сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Статистический ряд распределения наработок до отказа

Номер интервала	Границы интервалов (tj − tj+1), тыс. км	Середина интервала Tj, тыс. км	Частота mjоп​
1-й	0 – 50	25	30
2-й	50 – 100	75	2
3-й	100 – 150	125	4
4-й	150 – 200	175	1
5-й	200 – 250	225	1
6-й	250 – 300	275	1
7-й	300 – 350	325	0
8-й	350 – 400	375	1
Итого	–	–	40

2. 1.2 Определение числовых характеристик наработок

Определяем числовые характеристики статистического ряда распределения:

– средняя наработка до отказа t_cp = ·(30·25 + 2·75 + 4·125 + 1·175 + 1·225 + 1·275 + 0·325 + 1·375) = = 61,25 тыс. км;

– среднеквадратическое отклонение σ(t) = 77,5 тыс. км;

– коэффициент вариации v = = 1,26.

Строим гистограмму распределения опытных частот m_j (рисунок 1). По её виду (резко выраженный спад вправо) и значению коэффициента вариации v = 1,26, близкому к характеристическому диапазону экспоненциального закона (v = 0,8…1,2), предполагаем, что распределение наработок до отказа подчиняется экспоненциальному закону.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения наработок объекта до отказа по интервалам наработки

3. 1.3 Определение интенсивности отказов и расчёт теоретических частот

Определяем интенсивность отказов λ = = 0,0163 тыс. км^–1.

Рассчитываем вероятности попадания наработок до отказа P_jy в каждый из интервалов (вероятность усеченного распределения) P_jy = P(t_j < T < t_j+1) = e^−λ·tj − e^−λ·tj+1.

Для первого интервала P_1y (0 < T < 50) = e^−0,0163·0 − e^{−0,0163·50} = 1 − 0,4426 = 0,5574.

Аналогично рассчитываем вероятности попадания t в остальные интервалы наработки P_2y = 0,2467; P_3y = 0,1092; P_4y = 0,0483; P_5y = 0,0214; P_6y = 0,0095; P_7y = 0,0042; P_8y = 0,0018.

Определяем нормирующий множитель C = =1,0015.

Рассчитываем исправленные вероятности P_j = P_jy · C:

P₁ = 0,5574 · 1,0015 = 0,5582; P₂ = 0,2471; P₃ = 0,1094; P₄ = 0,0484; P₅ = 0,0214; P₆ = 0,0095; P₇ = 0,0042; P₈ = 0,0018.

Определяем теоретические частоты попаданий данных в интервалы наработок m_jтеор = P_j · N:

m_т1 = 0,5582 · 40 = 22,328; m_т2 = 9,884; m_т3 = 4,376; m_т4 = 1,936; m_т5 = 0,856; m_т6 = 0,38; m_т7 = 0,168; m_т8 = 0,072.