1.4 Расчёт критерия согласия χ² Пирсона
В соответствии с правилами применения критерия χ² Пирсона, теоретические частоты в интервалах должны быть не менее 5. В связи с этим производим объединение смежных интервалов:
– 1-й интервал оставляем без изменений: mjоп = 30; mт = 22,328;
– 2-й интервал оставляем без изменений: mjоп = 2; mт = 9,884;
– Объединяем 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 7-й и 8-й интервалы: mjоп = 4 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 8; mт = 4,376 + 1,936 + 0,856 + 0,38 + 0,168 + 0,072 = 7,788.
После объединения количество интервалов стало равно k = 3. Расчёт критерия согласия χ² для объединенных интервалов сведён в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчета критерия согласия χ²
Объединенный интервал |
mjоп |
mjтеор |
mjоп − mjтеор |
(mjоп − mjтеор)2 |
|
1-й |
30 |
22,328 |
7,672 |
58,86 |
2,636 |
2-й |
2 |
9,884 |
-7,884 |
62,157 |
6,288 |
С 3-го по 8-й |
8 |
7,788 |
0,212 |
0,045 |
0,006 |
СУММА |
40 |
40,000 |
– |
– |
χ²опыт = 8,93 |
Определяем число степеней свободы S = k − r − 1 = 3 − 1 − 1 = 1 (где r = 1, так как для экспоненциального закона оценивался один параметр – λ).
При уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 табличное значение χ²табл = 3,84.
Так как χ²опыт > χ²табл (8,93 > 3,84), расхождение между опытными и теоретическими частотами признаётся значимым. Гипотеза о принадлежности выборочных данных экспоненциальному закону распределения отвергается.
1.5. Расчёт интегральных функций распределения p(t) и f(t)
Несмотря на то, что критерий Пирсона не подтвердил экспоненциальный закон на данном уровне значимости (что часто бывает при малых объемах выборки и наличии выбросов, таких как наработка 359,2 тыс. км), в рамках выполнения работы осуществляем расчёт интегральных функций по методике экспоненциального распределения.
Определяем значения интегральных функций распределения отказов F(t) и вероятностей безотказной работы P(t) по интервалам наработки на основе исправленных вероятностей Pj.
Вероятности отказов:
F(t1) = 0,5582; F(t2) = 0,5582 + 0,2471 = 0,8053; F(t3) = 0,8053 + 0,1094 = 0,9147; F(t4) = 0,9147 + 0,0484 = 0,9631; F(t5) = 0,9631 + 0,0214 = 0,9845; F(t6) = 0,9845 + 0,0095 = 0,9940; F(t7) = 0,994 + 0,0042 = 0,9982; F(t8) = 0,9982 + 0,0018 = 1.
Вероятности безотказной работы:
P(t1) = 1 − F(t1) = 1 − 0,5582 = 0,4418;
P(t2) = 1 − F(t2) = 1 − 0,8053 = 0,1947;
...
P(t8) = 1 − F(t8) = 1 − 1 = 0.
Таблица 3 – Результаты расчета функций распределения F(t) и P(t)
Функция |
1-й (T = 25) |
2-й (T = 75) |
3-й (T = 125) |
4-й (T = 175) |
5-й (T = 225) |
6-й (T = 275) |
7-й (T = 325) |
8-й (T = 375) |
F(ti) |
0,5582 |
0,8053 |
0,9147 |
0,9631 |
0,9845 |
0,9940 |
0,9982 |
1,0000 |
P(ti) |
0,4418 |
0,1947 |
0,0853 |
0,0369 |
0,0155 |
0,0060 |
0,0018 |
0,0000 |
По данным таблицы 3 строим графики интегральных функций распределения (рисунок 2).
Рисунок 2 – Графики функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t)