7. 1.7. Расчёт интегральных функций распределения p(t) и f(t)

Рассчитываем вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t) на наработках, соответствующих серединам исходных интервалов t_i​: P(t) = 0,5 − Ф ; F(t) = 1 − P(t), Результаты расчётов сводим в таблицу 5.

Таблица 5 – Результаты расчета интегральных функций распределения P(t) и F(t) по интервалам наработки

Функция	1-й (t = 77,5)	2-й (t = 112,5)	3-й (t = 147,5)	4-й (t = 182,5)	5-й (t = 217,5)	6-й (t = 252,5)	7-й (t = 287,5)
P(t)	0,9993	0,9838	0,8621	0,5115	0,1515	0,0188	0,0008
F(t)	0,0007	0,0162	0,1379	0,4885	0,8485	0,9812	0,9992

По данным таблицы 5 строим графики интегральных функций распределения (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графики функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t)

Заключение

Обработаны статистические данные эксплуатационных наблюдений за наработками объекта до предельного состояния и осуществлена проверка гипотезы о законе их распределения. На основе построенной гистограммы и расчёта коэффициента вариации (v = 0,2) была выдвинута предварительная гипотеза о принадлежности опытных данных к нормальному закону распределения.

Для строгой количественной оценки применимости данного закона использован критерий согласия χ² Пирсона. С целью соблюдения требований к минимальному размеру теоретических частот в интервалах (не менее 5) было произведено объединение крайних интервалов статистического ряда. Опытное значение критерия составило χ²_опыт​ = 3,662. При заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 табличное значение равно χ²_табл ​= 3,84. Поскольку χ²_опыт < χ²_табл​, расхождение между опытными и теоретическими частотами признано несущественным, и нулевая гипотеза о нормальном распределении наработок до предельного состояния не отвергается.

По результатам расчётов построены графики интегральных функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t), наглядно демонстрирующие характер изменения надёжности объекта в зависимости от наработки. Подтвержденный нормальный закон распределения и полученные числовые характеристики (t_cp = 166 тыс. км, σ(t) = 33,1 тыс. км) могут быть использованы для дальнейшего точного расчёта показателей надёжности (например, гамма-процентного ресурса), а также для обоснования периодичности технического обслуживания и прогнозирования потребности в запасных частях [5].

Контрольные вопросы

1. Что лежит в основе выбора закона распределения наработок изделий до отказа?

Ответ: В основе выбора закона распределения лежат три фактора: физическая природа процесса возникновения отказов (изнашивание, усталость, старение или внезапные поломки), визуальный анализ формы построенной гистограммы статистического ряда (симметричность, асимметрия, экспоненциальный спад), а также числовые характеристики выборки – в первую очередь коэффициент вариации v. Например, при v < 0,33 и симметричной гистограмме выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения.

2. Приведите порядок построения гистограммы распределения наработок до отказа.

Ответ: Порядок построения включает следующие этапы:

1) Определение размаха выборки R = t_max − t_min;

2) Расчёт числа интервалов по формуле Стерджесса k = 1 + 3,32·lg(N);

3) Определение величины интервала h = (с округлением до удобного числа);

4) Разбиение размаха на интервалы и определение их границ;

5) Подсчёт частоты попаданий m_iоп​ опытных данных в каждый интервал;

6) Построение графика, где по оси абсцисс откладываются границы интервалов наработки, а по оси ординат – частоты m_iоп​, при этом над каждым интервалом строится прямоугольник высотой, равной частоте.

3. Как рассчитывают критерий хи-квадрат Пирсона?

Ответ:

Критерий рассчитывают по формуле χ²_опыт​= ,

где m_iоп – опытная частота попадания в i-й интервал;

m_iтеор​ = N·P_i​ – теоретическая частота, вычисленная на основе выбранного закона распределения;

k – количество интервалов.

При этом обязательным условием корректного расчёта является предварительное объединение соседних интервалов, если их теоретическая частота оказалась меньше 5.

4. Как осуществляют проверку принадлежности опытных данных выбранному закону распределения?

Ответ: Проверку осуществляют путем сравнения вычисленного значения χ²_опыт с табличным (критическим) значением χ²_табл​.

Табличное значение определяют по заданному уровню значимости α (обычно 0,05 или 0,1) и числу степеней свободы S = k − r − 1 (где r – число параметров закона).

Если χ²_опыт ≤ χ²_табл​, расхождение между опытными и теоретическими данными считают незначимым, и гипотезу о принадлежности данных выбранному закону не отвергают.

Если χ²_опыт > χ²_табл​, гипотезу отвергают.