2. Время жизни. Скорости генерации и рекомбинации

Процесс генерации характеризуют скоростью генерации – числом носителей (или пар носителей), возбуждаемых в единицу времени в единице объема: g.

Процесс рекомбинации характеризуют скоростью рекомбинации – числом носителей (или пар носителей), рекомбинирующих в единицу времени в единице объема: R.

Каждый свободный носитель, появившийся в соответствующей зоне, проводит там (до рекомбинации) в среднем некоторое время – время жизни . Скорость рекомбинации, время жизни и концентрация носителей связаны между собой соотношением:

– для электронов (5)

и

– для дырок. (6)

Здесь , , , – скорости рекомбинаций и времена жизни для электронов и дырок, соответственно.

Если электроны и дырки рекомбинируют парами, то их скорости рекомбинации равны между собой:

. (7)

Отсюда с учетом (5) и (6) имеем:

. (8)

Из (8) видно, что, если , как это имеет место в примесных полупроводниках, то и . К примеру, в n-полупроводнике и из (8) следует, что тогда и . Это означает, что время жизни основных носителей больше, чем неосновных (!).

Вместе с изменением концентрации неравновесных носителей ( ) изменяются и времена жизни и . Так, если, например, , то согласно (7) мы имеем:

. (9)

При равенство (9) для различных может быть удовлетворено только тогда, когда и изменяются вместе с изменением .

Условимся далее обозначать времена жизни равновесных носителей нулевыми нижними индексами: и , а времена жизни неравновесных носителей без них: и .

3. Уравнение непрерывности

Помимо генерации и рекомбинации изменение концентрации свободных носителей заряда может происходить также за счет протекания токов.

Рассмотрим, как изменяется число дырок в некотором выделенном элементе объема кристалла при протекании через него дырочного тока плотностью .

Через грань (1) в элемент объема dV площадью за время войдет заряд:

(1)

то есть войдет дырок:

. (2)

За то же самое время через грань (2) выйдет дырок:

. (3)

Если разность ( ) поделить на объем dV, мы получим изменение концентрации дырок около точки с координатами x, y, z:

. (4)

Если дырок выйдет больше, чем войдет , то будет убыль дырок. Поэтому в правой части (4) стоит знак «–».

Аналогичные вклады в изменение концентрации дырок дадут другие компоненты дырочного тока и . Суммируя их после деления на dt и перехода к частным производным, получим:

. (5)

Такое же уравнение мы можем записать для электронов:

. (6)

Если теперь учесть, что в изменение концентрации вносят еще вклад процессы генерации и рекомбинации, то получим:

. (7)

Эти уравнения называются уравнениями непрерывности.

Поскольку равновесные скорости генерации и рекомбинации равны между собой ( , то в уравнениях непрерывности можно учитывать только скорости генерации и рекомбинации неравновесных носителей. Тогда с учетом того, что ( ) и ( ), система уравнений (7) перепишется:

, (8)

где и – скорости генерации (скорости дополнительной генерации) неравновесных электронов и дырок, соответственно.