4. Первая зона Бриллюэна

Разбиение волновой функции электрона в кристалле (функции Блоха) на два сомножителя и является неоднозначной операцией. Покажем это на примере одномерной (!) волновой функции электрона, движущегося в направлении кристалла, в котором период кристаллической решётки равен :

. (16)

Умножим правую часть (16) на единицу: . Тогда получим:

, (17)

где .

Сомножитель удовлетворяет требованию к функции Блоха: он является произведением периодической функции с периодом а на тоже периодическую функцию с периодом а. Таким образом сомножитель в квадратных скобках […] – есть периодическая функция с периодом а.

Однако оказалось, что одна и та же функция теперь уже представляет собой волновую функцию электрона не с волновым вектором k, а с другим волновым вектором: . Это и является свидетельством неоднозначности.

Точно так же можно было бы изменить k в уравнении (16) на и так далее.

Эта неоднозначность устраняется рассмотрением волновых векторов только в пределах: в пределах первой зоны Бриллюэна. Таким образом, набор значений k в пределах первой зоны Бриллюэна исчерпывает весь набор физически (!) различных волновых векторов в кристалле.

Функция в функции Блоха при одних и тех же значениях k различны для электронов различных зон, то есть, она зависят ещё и от номера n зоны. Поэтому вводят обозначение

(18)

и волновую функцию электрона в кристалле записывают в виде

. (19)

В общем случае (с учётом зависимости от времени) волновая функция электрона в кристалле записывается в виде

. (20)

5. Дисперсионные кривые

В каждой энергетической зоне энергия электрона является функцией его волнового вектора – дисперсией, то есть На рисунке приведены простейшие дисперсионные кривые (зависимости) для двух зон:

В общем случае энергия электрона в кристалле зависит ещё и от направления (!) волнового вектора . На рисунке приведены дисперсионные кривые для кремния в направлении кристалла [100]:

6. Поступательное движение электронов в кристалле

Получим дисперсионную кривую для свободного электрона.

Из функций стационарных состояний с близкими значениями можно сформировать нестационарное состояние – волновой пакет, перемещающийся в пространстве (подобно тому, как прямоугольный импульс напряжения можно представить как суперпозицию синусоид). Скорость перемещения такого волнового пакета в пространстве представляет собой групповую скорость электрона , которая связана с волновым вектором :

,

где масса электрона.

Энергия свободного электрона – это кинетическая (и только кинетическая!) энергия:

.

Таким образом, дисперсионная кривая для свободного электрона – это парабола, а зависимость прямая линия.

Для электрона в кристалле: из волновых функций Блоха так же можно составить волновой пакет. Скорость его перемещения по кристаллу определяется выражением:

или в более общем виде для вектора групповой скорости

.

На рисунке ниже приведена дисперсионная кривая для электрона в кристалле и зависимость (с синусоидальной зависимостью потенциалаV: V(x) = Sin(k_хx)).

При приближении к значению + энергия электрона увеличивается, а скорость уменьшается (до нуля!). Это происходит потому, что теперь в кристалле энергия электрона определяется уже не только кинетической, но и потенциальной энергией, обусловленной движением электрона в электрическом поле иона.