7. Движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Квазиимпульс электрона. Эффективная масса электрона

В кристалле (если не учитывать колебания решетки) в отсутствие внешнего поля волновые функции электрона являются стационарными, то есть, электрон может находиться в любом состоянии с определённым значением волнового вектора бесконечно долго. Внешнее электрическое поле приводит к изменению , а, следовательно, и к изменению функции с течением времени.

Найдём закон изменения в зависимости от времени (

Из закона сохранения энергии следует, что при перемещении изменение энергии электрона равно работе по его перемещению под действием внешней силы F:

(21)

(считаем, что вектор групповой скорости направлен вдоль вектора силы ).

С учётом того, что , соотношение (21) переходит в

. (22)

Отсюда следует, что

, (23)

или в более общем виде

. (24)

Из (23) и (24) видно, что изменяется со временем так же, как изменяется импульс частицы в классической механике (2-й закон Ньютона):

(25)

Поэтому величину называют квазимпульсом электрона в кристалле.

Теперь найдём ускорение движения электрона в кристалле.

Считая, что сила действует вдоль направления движения, получим:

(26)

Поскольку зависимость E от t неявная: , то

. (27)

Перепишем (26) с учётом (27) и (23):

или

=F. (8)

Мы получили уравнение движения электрона. В этом уравнении множитель играет роль массы во 2-м законе Ньютона. Таким образом, в кристалле под действием силы электрон движется так, как движется свободный электрон с массой

, (9)

которую называют эффективной массой электрона. Для трёхмерных кристаллов величина k – вектор ( ), а – тензор второго ранга:

,

где x, y, z.

Тема: Неравновесные носители заряда в полупроводниках

Быстродействие многих полупроводниковых приборов определяется скоростью протекания генерации и рекомбинации носителей заряда.

Рассмотрим основные факторы, определяющие темп этих процессов.

1. Равновесные и неравновесные носители заряда (определение)

При Т > 0 в полупроводниках происходит тепловое возбуждение – генерация свободных носителей заряда. Этот процесс не является единственным, ибо в противном случае концентрация носителей непрерывно бы возрастала. Вместе с генерацией протекает обратный процесс – рекомбинация. При каждой температуре устанавливается динамическое равновесие между этими процессами, и устанавливаются равновесные концентрации носителей. Такие носители называются равновесными.

Помимо теплового возбуждения возможны и другие способы генерации свободных носителей в полупроводниках: свет, ионизация частиц и т.д. При этом появляются избыточные или неравновесные свободные носители заряда.

Пусть n и p – полная концентрация электронов и дырок, а n₀ и p₀ – равновесная концентрация электронов и дырок. Тогда концентрация неравновесных электронов и дырок будет равна соответственно:

и .

При неизменности внешнего воздействия сначала концентрация избыточных носителей растет быстро, затем ее рост замедляется (из-за увеличивающейся скорости рекомбинации) и, в конце концов, рост останавливается и устанавливается стационарное состояние, при котором снова (так же как и при термодинамическом равновесии) скорость генерации становится равной скорости рекомбинации.

Равновесная концентрация носителей (электронов и дырок) в полупроводниках определяется равновесным уровнем Ферми и температурой:

и

.

Уровень Ферми для электронов и дырок для условия теплового равновесия является единым. Именно для такого равновесия и справедлив закон действующих масс: . Для неравновесных носителей закон действующих масс уже не справедлив, то есть, .