Тема: Элементы зонной теории твёрдых тел

1. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле

Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид:

, (1)

где – постоянная Планка, деленная на 2, m_e – масса электрона, + – оператор Лапласа; – потенциальная энергия электрона, – волновая функция и Е – полная энергия электрона.

Потенциальная энергия электрона обладает трёхмерной периодичностью. Что это значит? В идеальном кристалле атомы расположены с идеальной периодичностью. Такое расположение атомов означает, что при смещении кристалла на вектор

, (2)

(где – периоды идентичности решётки по трём произвольным направлениям, а произвольные числа) кристалл совмещается сам с собой. Из этого следует, что точка с радиусом-вектором и точка с радиусом-вектором + физически эквивалентны и следовательно

. (3)

Это соотношение как раз и выражает условие трёхмерной периодичности потенциального поля кристалла.

2.Функция Блоха

В периодическом поле кристалла волновая функция электрона должна отличаться от волновой функции электрона только постоянным множителем C:

. (4)

Из условия нормировки волновой функции следует, что

(5)

Поэтому можно положить, что

, (6)

так как . Действительно

= + =1. (7)

Здесь – волновой вектор, модуль которого (| |) равен .

Подставив (6) в (4), получим:

(8)

Из (8) следует, что

= (9)

где

(10)

Нижний индекс k указывает на зависимость функции от k.

Функция обладает трёхмерной периодичностью кристаллической решётки, то есть = . Действительно, согласно (10) и (8) мы имеем:

=

= = (11)

Таким образом, стационарная волновая функция электрона в периодическом поле кристалла зависит от волнового вектора и имеет вид (см. формулу (9)):

, (12)

где – представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении , а – некая функция координат, зависящая от волнового вектора и имеющая периодичность решётки. Функция электрона в виде (12) называется функцией Блоха.

Если функцию Блоха подставить в стационарное уравнение Шредингера, то получим:

. (13)

Из (13) следует, что энергия электрона в кристалле E должна зависеть от волнового вектора , то есть .

Таким образом, можно констатировать:

Решением уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью кристалла, а энергия электрона зависит от волнового вектора.

3. Метод Кронига-Пенни

Некоторые из характерных особенностей движения электрона в кристалле можно продемонстрировать на решении одномерной задачи с гребенчатым потенциалом Кронига-Пенни , изображенным на рис. 1.

Рис.1. Одномерный периодический потенциал Кронига-Пенни

Эта модель достаточно искусственна. Однако она хороша тем, что в ней весь расчёт производится точно и из нее следуют далеко идущие выводы.

В данном одномерном случае стационарное уравнение Шредингера для электрона имеет вид:

(14)

Его решение будем искать в виде функции Блоха для одномерного случая:

, (15)

где периодическая функция от с периодом .

На рис. 2. приведено решение уравнение Шредингера (29) для энергии

Рис. 2. Зависимость E(k)

Как видно из этого рисунка (и это самое главное!), в зависимости E(k) имеются зоны разрешённых(!) и запрещённых(!) значений энергии.