Введение в мехатронику

Графическоеизображениеэтой операции представлено нарис. 6.8.

Рис. 6.8. Операция отождествления ходов

Операция обратной связи. Пусть дан автомат М1, заданный системой уравнений (6.6), и функция g1 j существенно не зависит от

входной переменной x1i . Тогда автомат М, полученный отождествлением y1 j выхода с x1i входом автомата М1, есть автомат, полученный операцией обратной связи. Он задается системой

z1(0) q11 .

Графическоеизображениеэтой операции представлено нарис. 6.9.

341

вых функций; найти представление функций g1, ..., gm через функции полной системы.

Естественно попытаться найти какой-либо универсальный метод синтеза, которым можно было бы пользоваться при любом базисе. Одним из таких методов является метод перебора логических схем, составленных сначала из одного элемента базиса, затем из двух, трех и т. д. При этом реализуемость функций g1,..., gm проверяется перебираемыми схемами. Очевидно, что в конце концов решение будет получено и можно говорить о принципиальной возможности решения задачи синтеза. Однако эффективность этого метода настолько низкая, что нет смысла в его практическом применении. Поэтому задачу синтеза рассматривают для конкретного базиса. Предпочтение отдается следующим полным базисам: конъюнкция,

дизъюнкция и отрицание, штрих Шеффера, стрелка Пирса.

Рассмотрим реализацию автоматов без памяти в базисе конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Известно, что каждую булеву функцию можно представить в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы. Эти формы можно рассматривать как соответствующую суперпозицию элементарных автоматов с функциями выхода: конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием.

Ясно, что задача синтеза, как правило, решается неоднозначно, поэтому естественно ввести понятие сложности схемы М, реали-

зующей автомат М, – величины L( М), являющейся функциона-

лом, и требовать такого решения задачи синтеза, при котором функционал оптимален.

Функционал может быть определен как число вхождений символов переменных в функцию выхода автомата без памяти. В других случаях он может характеризовать надежность схемы или время работы и т. п. Поэтому задачу синтеза можно уточнить так: для лю-

бой системы булевых функций g1, ..., gm найти схему , реализующую ее, для которой сложность L( ) экстремальна.

Другой подход к задаче синтеза состоит в отказе от поиска экстремальной схемы для каждой функции и перехода к поиску алгоритмов синтеза экстремальных в некотором классе функций.

Остановимся на этом подходе. В качестве класса функций будем рассматривать булевы функции, зависящие от п переменных. Определим функцию L(n):

344

Функционал L(n) называется функцией Шеннона. Очевидно, что любую функцию от п переменных можно реализовать схемой сложности не большей чем L(n).

Рассмотрим случай, когда в качестве базиса используются автоматы, реализующие конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. В этом

случае L( f) определим как

L( f) = n1L n2L n3L ,

где п1 – число элементов конъюнкции; п2 – число элементов дизъюнкции; п3 – число элементов отрицания;

L , L , L – – сложности элементов конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Тогда можно указать метод синтеза, при котором

L(n) 2nn 1 0(1) L .

Этот метод является наилучшим, так как можно показать, что

L(n) ~ 2n L . n

6.8.3. Структурныйсинтезавтоматовспамятью

Так же, как в случае автоматов без памяти, будем рассматривать автоматы, входной и выходной алфавиты которых состоят из символов 0 и 1. Тогда функция выхода такого автомата будет булевой. Чтобы в системе уравнений полностью перейти к булевым функци-

ям, закодируем состояния автомата q1,..., qs последовательностями из 0 и 1 длины

l = [log2s].

345

Ясно, что при разных способах кодирования состояний получаются разные варианты функций выхода и перехода. Поэтому можно говорить о задаче экстремального кодирования, ибо сложность схемы зависит от вида функций входа и перехода. Если задача кодирования решена, то можно решить задачу синтеза автомата с памятью, сводя ее к решению задачи синтеза автомата без памяти. В качестве исходного базиса рассмотрим базис, состоящий из трех автоматов без памяти, у которых функции выхода есть соответственно конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, и автомата М3 с системой

y(t) z(t); z(t 1) x(t); z(0) 0.

Такой базис удовлетворяет условию полноты. Последнее следует из возможности представить любой автомат с закодированными состояниями в виде схемы, данной на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Схема автомата с закодированными состояниями

Такое представление конечного автомата позволяет свести задачу его синтеза к задаче синтеза автомата без памяти.

6.9. Примеры решения задач З а д а ч а 6.1

Дан последовательный двоичный сумматор с двумя входами, т. е. устройство, на входы которого поступают две последовательности

346

двоичных цифр, причем каждая последовательность представляет собой число в двоичной записи. Последовательность на выходе есть сумма двух чисел, подаваемых на входы. Показать, что это устройство можно рассматривать как конечный автомат.

Ре ш е н и е

Вмомент времени t на входы устройства, их два, поступают сигналы, соответствующие символам 0 или 1, следовательно, множество Х = {00, 01, 10, 11} является входным алфавитом. На выходе устройства появляется сигнал, соответствующий 0 или 1, поэтому множество Y = {0, 1}– его выходной алфавит. Выходной сигнал определяется входным сигналом и переносом, поэтому множество Z = {q0 – нет переноса, q1 – есть перенос} – множество состояний

ифункции выхода g(x(t), z ( t ) ) и перехода f(x(t), z(t)) определяются следующим образом:

З а д а ч а 6.2

Построить таблицы переходов и выходов для последовательного двоичного сумматора, рассмотренного в задаче 6.1. Таблицы переходов и выходов имеют вид

347

Р е ш е н и е

Табличное задание конечных автоматов удобно использовать при мощностных оценках. Если фиксировать алфавиты X, Y и множество Z, то таблица переходов может быть заполнена sps способами, а таблица выходов – tps. Следовательно, общее число автоматов с заданными алфавитами будет равно (st)ps.

З а д а ч а 6.3

Построить граф перехода для последовательного двоичного сумматора, рассмотренного в задаче 6.1.

Р е ш е н и е

Из описанного построения графа переходов следует, что граф последовательного двоичного сумматора имеет вид, представленный на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Граф последовательного двоичного сумматора

З а д а ч а 6.4

Дан автомат M с входным алфавитом X , , выходным ал-

фавитом Y = {0, 1} и множеством состояний Z = {1, 2, 3, 4}, его граф перехода дан на рис. 6.13. Показать, что его состояния 1 и 2 являются 1-эквивалентными и 2-различимыми.

Рис. 6.13. К задаче 6.4

348

Р е ш е н и е

Процесс построения начнем с построения 1 . Разбиение 1 состоит из двух классов:

Это видно из таблицы выходов автомата M.

Разбиение i 1 (i 1, 2, 3, 4) строим по разбиению i и таблице перехода автомата:

2 21 1, 4, 7 ; 22 2, 5, 6 ; 23 3 ,3 31 1, 4, 7 ; 32 2, 6 ; 33 3 , 34 5 ,

4 3 .

Следовательно 3 .

З а д а ч а 6.7

Показать, что автоматы М1 и М2, данные на рис. 6.14 и 6.15, эквивалентны.

Р е ш е н и е

Легко видеть, что состояние 1 эквивалентно состоянию 1 , состояние 2 – состоянию 2' и состояние 3 – состоянию 2'. Следовательно, автоматы М1 и М2 эквивалентны.

350