Введение в мехатронику

рентные соотношения (6.1) вырождаются в функциональное соотношение

y(t) = g(x(t)).

2.А в т о н о м н ы й а в т о м а т. Множество X состоит из одного элемента, т. е. автомат М есть четверка Y, Z, f , g . Рекуррентные соотношения (6.1) вырождаются в соотношения

z(t 1) f (z(t)) ;

y(t) g(z(t)) .

3.А в т о м а т б е з в ы х о д а. Множество Y состоит из одного элемента, т. е. автомат М есть тройка (Х, Z, f). Рекуррентные соотношения (6.1) вырождаются в соотношение

z(t 1) f (x(t), z(t)) .

4. А в т о м а т с з а д е р ж к о й. Функция g зависит только от состояния z(t); соотношения (6.1) имеют вид

z(t 1) f (x(t), z(t)) ; y(t) g(z(t)) .

5. А в т о м а т М у р а. Функция g зависит от состояния z ( t + l ) ; соотношения (6.1) имеют вид

z(t 1) f (x(t), z(t)) ;

y(t) g(z(t 1)) .

6.3. Заданиеконечныхавтоматовтаблицамииграфами

Функции перехода f и выхода g, поскольку области определения и изменения их конечны, могут быть заданы таблицами, которые

321

называются таблицей переходов и таблицей выходов соответствен-

но. Таблицы переходов и выходов имеют вид табл. 6.1 и 6.2.

Строки таблиц занумерованы состояниями, а столбцы – входными символами. В табл. 6.1 переходов на пересечении qi строки и aj столбца стоит f (aj, qi), а в табл. 6.2 выходов на пересечении qi стро-

ки и aj столбца стоит g(a j , qi ) .

Другим способом задания конечного автомата является задание с помощью ориентированного графа, называемого графом переходов. Граф переходов автомата M имеет s вершин, которым приписаны s состояний автомата M. Если {ai1, ..., air} – множество входных

существует ребро, идущее из вершины qi в вершину qj, и этому ребру поставлено в соответствие выражение ai1 / bi1 ... air / bir (если

множество ai1 , ..., air i1 пусто, то таких ребер нет). Задание конеч-

ного автомата графом является более наглядным. Например, при s = 6 граф автомата имеет вид, показанный на рис. 6.2.

322

если при действии всякого входного слова длины k или меньше на автомат M в состоянии q1 и на автомат M2 в состоянии q2 получаются одинаковые выходные слова. В этом случае пишут

q1k q2k .

В противном случае состояния называют k-различимыми. Предположим, что Z1 Z2 (этого всегда можно добиться

переименованием элементов множеств Z1 или Z2).

Тогда множество состояний Z Z1 Z2 можно разбить на клас-

сы k-эквивалентных состояний так, что два состояния принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда они k-эквивалентны. Бу-

дем обозначать такое разбиение через k .

Состояния q1 и q2 называются эквивалентными, если они k-экви- валентны для любого конечного k. В этом случае пишут q1k q2.

В противном случае их называют различимыми.

Множество состояний Z можно разбить на классы так, что два состояния принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Это разбиение представляет собой отношение эквивалентности в Z. Обозначим его через .

Свойства разбиения k

1. Разбиение k единственно.

Доказательство этого свойства очевидно.

2. Если k , то число классов в k 1 больше, чем в k .

Число классов в любом разбиении не может превзойти числа состояний, поэтому получаем следующее свойство k .

3. Если Z содержит s состояний, то s 1 .

В силу сказанного выше можно найти следующей процедурой. Строим 1 . В один класс попадают два состояния, если они

1-эквивалентны или если в таблице выходов им соответствуют одинаковые строки. Теперь укажем, как по разбиению k построить

k 1 . Если состояния q1 и q2 принадлежат разным классам k или

324

если состояния q1 и q2 принадлежат одному классу k , но существует входная буква ai такая, что состояния f1(ai , q1) и f2 (ai , q2 ) принадлежат разным классам k , то состояния q1 и q2 принадлежат разным классам k 1 . Полученное разбиение k 1 является разбиением , если либо k = k 1 , либо k + 1 = s – 1.

6.5. Минимальнаяформа автомата

Автоматы М1 и М2 называются эквивалентными (М1 М2), если каждому состоянию qi автомата М1 найдется по крайней мере одно состояние q j автомата М2 такое, что qi q j , и наоборот. В против-

ном случае автоматы М1 и М2 различимы. Рассмотрим автомат

М =(X, Y, Z, f, g).

Пусть разбиение π множества Z состоит из классов 1, 2, ..., l

иqi – произвольный элемент из i . Определим автомат

Из определения эквивалентных состояний следует, что построение автомата М не зависит от выбора состояния qi из класса i . По-

этому автомат M – единственный с точностью до изоморфизма для автомата М.

325

Автомат M обладает следующими свойствами:

1)никакие два состояния автомата M не эквивалентны;

2)M M ;

3)несуществуетавтомата M такого, что M M исодержит

меньше состояний, чем автомат M .

Автомат M называется минимальной формой автомата М.

6.6. Сенсорные автоматы

Понятие испытания и классификация. Процесс применения входных слов к автоматам, наблюдения соответствующих выходных слов и получения заключений относительно внутренней структуры автомата называется испытанием.

Испытание может быть безусловным, когда входное слово определяют заранее, или условным п о р я д к а k, когда входное слово состоит из k слов и каждое слово (исключая первое) определяют на основе предыдущих наблюдений. Испытание может быть простым, когда используют только один автомат, или к р а т - н ы м кратности l, когда используют l тождественных автоматов с одним и тем же начальным состоянием. Длина испытания равна числу букв во входном слове. Испытание реализуется, если его длина конечна. Длину, порядок и кратность испытания можно рассматривать как грубую меру их стоимости и использовать как критерии для сравнения различных экспериментов.

В дальнейшем допустимым множеством А автомата М будем называть множество состояний, про которые известно, что они могут быть начальными состояниями автомата М.

6.6.1. Диагностическиеиспытания

Сформулируем диагностическую задачу. Даны автомат М своей минимальной формой и множество допустимых состояний

A qi1 , ..., qim . Требуется найти начальное состояние автомата М.

Решить эту задачу – значит выполнить такое испытание, чтобы об истинном начальном состоянии можно было сделать вывод по на-

326

блюдению входного и выходного слов. Испытание, которое решает задачу, называется диагностическим испытанием.

Диагностическая задача, очевидно, всегда решается для допустимого множества, состоящего из одного элемента.

Диагностическая задача для автомата с s состояниями и допустимым множеством из двух состояний всегда решается простым безусловным испытанием длины, меньшей или равной s – 1.

Действительно, так как автомат М дан минимальной формой, то любые два его состояния различимы. Входное слово, различающее состояния, принадлежащие допустимому множеству, будет решать диагностическую задачу. Длина такого слова не больше чем s – 1.

Входное слово, решающее диагностическую задачу, называется

диагностической последовательностью. Диагностическая после-

довательность минимальной длины называется минимальной диаг-

ностической последовательностью. Найти минимальную диагно-

стическую последовательность (qi , q j ) для автомата М допус-

Пусть число l таково, что состояния qi, qj находятся в разных классах l и в одном классе l 1 . Тогда существует входная буква av1

такая, что состояния qi1 и q j1 , получаемые из состояний qi и q j по-

эквивалентны. Продолжив этот процесс, получим входное слово av1 ,..., avl . Оно и есть искомая минимальная диагностическая по-

следовательность.

Рассмотрим диагностическое испытание в случае, когда допустимое множество А содержит т элементов (т > 2). При построении простого безусловного испытания для автомата М с допустимым

которого на вход автомата М для каждого из т состояний множества А на выходе получаются разные слова. Возьмем входное слово .

Пусть A(v) – множество состояний, которое получается из состояний

327

А при подаче v букв слова . Различных множеств A(v) Z s мо-

жет быть не больше чем m Csi . Следовательно, после подачи слова

i 1

не составляют диагностическую последовательность, то слово не будет ею. Диагностическую последовательность можно найти пере-

число букв в алфавите X.

Процесс нахождения диагностической последовательности можно упорядочить. Для этого надо построить дерево диагностического эксперимента. Рассмотрим дерево с корнем, обладающее свойствами:

1)оно ориентированное;

2)из каждой вершины исходит р ребер, если X p ;

3)в каждую вершину, исключая корень, входит одно ребро;

4)каждому исходному ребру приписана буква входного алфавита, разным исходящим ребрам одной вершины – разные буквы входного алфавита;

5)корню дерева приписано допустимое множество А;

6)остальным вершинам приписаны множества A(v) , которые получаются из А подачей входного слова длины v, приписанного пути, ведущему из корня в эту вершину;

7)множество A(v) есть объединение множеств A1(v) ,... , Al(vv) , где

множество Aij(v) ( j 1,..., lv ) получаетсяизтех состояний множества А,

которые неразличимы подачей входного слова.

Полученное дерево является бесконечным; из него, обрезая ветви дерева, можно получить дерево диагностического испытания. Будем обрезать ветвь дерева в тех случаях, если:

328

1)множество встречалось ранее;

2)A(jv) содержит два одинаковых элемента;

3)все A(jv) ( j 1, ..., lv ) состоят из одного элемента.

В результате мы получим дерево диагностического испытания. Диагностической последовательностью будут являться входные слова, приписанные ветвям дерева, обрезанным в силу условия 3).

Диагностическая задача не всегда решается простым безусловным экспериментом. Например, для автомата М, заданного графом переходов (рис. 6.3), и множества допустимых состояний А = {1, 2, 3, 4} диагностическую задачу нельзя решить простым безусловным испытанием. Ясно, что диагностическая последовательность должна начинаться с буквы β, второй буквой не может быть ни буква , в этом случае состояния 1 и 2 неразличимы, ни буква β, в этом случае состояния 3 и 4 неразличимы. Однако диагностическая задача для этого множества допустимых состояний может быть решена простым условным испытанием. Надо сначала подать слово β и затем в зависимости от выходного слова подать либо слово α, либо слово β.

Рис. 6.3. Граф переходов автомата М

Например, диагностическая задача для множества допустимых состояний {5, 6, 7, 8} не решается простым экспериментом.

Однако диагностическая задача всегда решается кратным испытанием, рис. 6.4.

329