Введение в мехатронику

Находя из (5.55) u R 1BT и подставляя его в ограничение x Ax Bu , получим

Представляя решение дифференциальных уравнений (5.57) в ви-

Исключая x из уравнений (5.58), (5.59), получим систему алгебраических уравнений для нахождения матрицы S:

Таким образом, вектор u представляется в виде

u R1BT R 1BTSx .

Здесь R 1BTS представляет собой коэффициент усиления обратной связи. Квадратноеуравнение (5.60) является уравнениемРиккати.

Рассмотрим случай, когда динамика системы описывается разностными уравнениями в дискретные моменты времени:

x(k 1) (T )x(k) H (T )u(k);

(T ) eAT ;

T

H (T ) eA d ;

0

y(k) Сx(k).

311

Цифровое управление с помощью микропроцессора осуществляется на базе измерений и регулирующих воздействий в дискретные моменты времени t kT , k 0,1, 2,... , причем при kT t (k 1)T

считается, что u(t) u(k) const . Структурная схема дискретной

системы, управляемой микропроцессором, изображена на рис. 5.12. Для линейной системы имеем

Критерий качества регулирования (5.53) в дискретном виде имеет вид

n

I x T (k)Qx(k) u T (k)Ru(k) .

k 0

5.10. Использование z-преобразования для анализа дискретных систем

Для анализа дискретных систем также может применяться преобразование Лапласа.

Если поведение системы достаточно полно описывается значениями выходной функции только в дискретные моменты времени, то более удобным математическим аппаратом для анализа может

Если взять конечный интервал времени t = Т и представить текущее время в виде t = пТ, где п = 0, 1, 2, 3,..., то интеграл в последнем выражении можно заменить суммой:

n 0

312

Предел этого выражения при Т →0 даст преобразование Лапласа непрерывной величины x t согласно (5.61). Введемобозначение

Тогда формулу (5.62) можно представить в следующем виде:

F p T x nT z n .

n 0

Второй сомножитель в правой части носит название z-пpeобразо- вания дискретной функции времени:

n 0

Иногда применяется символическая запись

F z Z x nT .

Выражение (5.64) является, по существу, деленным на Т преобразованием Лапласа дискретной функции времени при использовании подстановки (5.63).

В качестве примера найдем z-преобразование для единичной ступенчатой функции 1(t). Суммируя геометрическую прогрессию в соответствии с (5.64), получаем

Предел, к которому стремится сумма бесконечного числа слагаемых в последнем выражении, записан на основании формулы для суммы членов геометрической прогрессии.

Аналогичным путем можно найти z-преобразование для других функций времени. Составлены подробные таблицы z-преобразований, неуступающие по полноте таблицам для преобразований Лапласа.

В качестве иллюстрации в табл. 5.1 приведены z-преобразования для некоторых функций времени при условии, что f(t) = 0 при t < 0.

313

Обратный переход от z-преобразования к функции времени может быть осуществлен по формуле обращения

x nT 1 F z zn 1dz ,

i2

314

причем интегрирование ведется по окружности:

z ecT ,

где с – абсцисса абсолютной сходимости.

5.11. Пример решения задачи

Передаточная функция непрерывной части системы регулирования с ЦВМ имеет вид

W p K 1p2 p ,

где K = 100 с–2 – общий коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования;

τ – постоянная времени корректирующего устройства. Определить допустимое значение периода дискретности компь-

ютера и требуемое значение постоянной времени корректирующего устройства, чтобы показатель колебательности не превышал значения М = 1,3, если запаздывание в компьютере равно нулю, а влиянием квантования по уровню можно пренебречь.

Р е ш е н и е

Определим передаточную функцию разомкнутой системы совместно с компьютером:

В соответствии с табл. 5.1

315

Перейдем к ω-преобразованию, использовав подстановку

z 11 .

Теперь получим частотную передаточную функцию посредством

316

По выражению (5.68) на рис. 5.13 построены ЛАХ.

Рис. 5.13. Зависимость ЛАХ – L от λ и ЛФХ – ψ от λ

По виду фазовой характеристики (5.69) этот случай сводится к ЛАХ типа 2 – 1 – 2. В результате получаем следующие формулы для расчета:

базовая псевдочастота ЛАХ

0 K 10 с–1,

требуемое значение постоянной времени корректирующего устройства

требуемая протяжность участка ЛАХ с наклоном 20 дб/дек

h M 1 1,3 1 7,7 ; M 1 1,3 1

допустимое значение периода дискретности

T0 0,21 с, 2 h 7,7

откуда T0 0,054 с.

ЛАХ – линейно-амплитудная характеристика. ЛФХ – линейно-фазовая характеристика.

317

6.КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ

ВМЕХАТРОННЫХ СИСТЕМАХ

Теорию конечных автоматов можно рассматривать как часть общей математической теории систем. Она изучает абстрактные математические модели и их общие свойства. С другой стороны, на конечные автоматы можно смотреть как на идеализированные модели многих реальных устройств и явлений. Идеи и методы, развитые в теории конечных автоматов, полезны в самых различных областях науки и техники, в том числе в мехатронике.

Конечный автомат имеет конечное число входов и выходов.

В момент времени t на каждый вход конечного автомата поступают сигналы, а на его выходах появляются сигналы, являющиеся его реакцией на эти входные сигналы. Смена сигналов происходит в дискретные моменты времени t0, t1, ..., и они отождествляются с целыми неотрицательными числами. Переменная времени t принимает значения 0, 1, 2, ... Этот класс моделей не рассматривает физическую природу сигналов. Он предполагает, что в момент времени t на каждый вход конечного автомата поступает только один сигнал и на выходе вырабатывается тоже только один сигнал. Число входных и выходных сигналов конечно. Будем обозначать входы конечного автомата

переменными х1, х2, ..., хп, а его выходы y1, y2 , ..., ym .

На рис. 6.1 схематически изображен конечный автомат М.

m

Рис. 6.1. Конечный автомат

Входные сигналы входа xi заданы буквами входного алфавита Xi (i 1, ..., n) . Выходные сигналы выхода y j заданы буквами вы-

ходного алфавита Yi ( j 1, ..., m) . Из требования конечности мно-

жеств входных и выходных сигналов вытекает, что алфавиты X1, ..., Xn , Y1, ..., Ym конечны. Если конечный автомат М имеет п

входов х1, ..., хп, на которые подаются входные сигналы из алфави-

318

тов Х1, ..., Хп, то без потери общности его можно рассматривать как имеющий один вход х, на который поступают сигналы алфавита

X1 ... Xn . Аналогично обстоит дело с выходом.

В зависимости от потребностей можно рассматривать конечный автомат, имеющий как один, так и несколько входов или выходов.

6.1. Функционированиеконечногоавтомата. Состояния. Переходы

Под функционированием автомата понимают его способность преобразовывать буквы входного алфавита в буквы выходного алфавита. Предположим, что автомат имеет один вход и один выход. Будем считать, что поведение автомата описано, если указана функциональная зависимость выходного сигнала от входного в момент времени t. Однако у автомата выход в момент t определяется не только входом, но и всей предыдущей работой автомата или памятью о предыдущей работе. Это означает, что существуют внутренние переменные, от которых зависит выход в момент t. Будем учитывать суммарное влияние этих переменных, вводя понятие некоторой в е л и ч и н ы — с о с т о я н и я, которая по входному сигналу и значению внутренней переменной позволяет однозначно определить выходной сигнал. Основным ограничением, налагаемым на класс рассматриваемых моделей, является конечность числа состояний автомата. Дадим точное математическое определение конечного автомата.

Конечнымавтоматом Мназывается совокупностьпятиобъектов:

1)конечного непустого множества Х = {а1, ..., ар}, называемого входным алфавитом автомата М, его элементы называются входными символами-буквами;

2)конечного непустого множества Y = {b1, ..., bt}, называемого выходным алфавитом автомата М; его элементы называются выходными символами-буквами;

3)конечного непустого множества Z = {q1, ..., qs}, называемого множеством состояний автомата М; его элементы называются состояниями;

4)переходной функции состояний f, отображающей множество всех упорядоченных пар (aj, qi) в множество Z;

319

5) выходной функции g, отображающей множество всех упорядоченных пар (aj, qi) в множество Y.

Таким образом, конечный автомат М – пятерка (Х, Y, Z, f, g). В каждый момент t на вход автомата М поступает одна из букв х(t) алфавита X, при этом в тот же самый момент времени t на выходе появляется одна из букв y(t) алфавита Y, а состояние автомата z(t) меняется.

Исходя из 4-го и 5-го пунктов определения конечного автомата, имеем соотношения

z(t + 1) = f (x(t), z (t));

(6.1)

y(t) = g(x(t), z(t)),

где z(t) и z(t 1) Z, x(t) X , y(t) Y .

Если дано z(0) – начальное состояние конечного автомата М, то последовательность l входных букв (входное слово длины l) в силу (6.1) однозначно определит последовательность состояний и выходное слово той же самой длины. Конечный автомат М, для которого указано z(0), называется инициальным автоматом.

1)X1 X2 X ;

2)можно установить взаимно однозначное соответствие между Z1

иZ2 так, что если q1 Z1 соответствует q2 Z2 , то ai (a1 X ) f1(ai , q1)

соответствует f2 (ai , q2 ) и g1(a1, q1) g2 (ai , q2 ) .

Таким образом, автоматы М1 и М2 отличаются только метками состояний. В дальнейшем конечные автоматы будем различать

сточностью до изоморфизма.

6.2.Классификация конечных автоматов

Взависимости от мощности множеств X, Y, Z и вида функций f и g различаются следующие виды автоматов.

1. А в т о м а т б е з п а м я т и. В этом случае множество Z состоит из одного элемента, т. е. автомат есть тройка (Х, Y, g). Рекур-

320