Введение в мехатронику

На следующую копию автомата подадим входное слово , различающее некоторые два состояния множества Ai . Этот процесс

надо продолжать до тех пор, пока не удастся различить все состояния множества А. Очевидно, что эта процедура конечна в силу конечности множества А.

6.6.2. Установочныеиспытания

Сформулируем установочную задачу. Даны конечный автомат М своей минимальной формой и допустимое множество A = { qi1 ,..., qim }.

Требуется перевести автомат М в известное состояние (провести такой эксперимент, что о состоянии, достигнутом в конце эксперимента, можно судить наблюдая входное и выходное слово). Испытание, которое решает эту задачу, называется установочным испытанием для автомата М и допустимого множества А.

Установочная задача всегда решается простым безусловным испытанием.

Действительно, построим серию множеств A1,..., Al , где каждое

мата М, может быть с повторяющимися элементами. Множество А1 совпадает с допустимым множеством A = { qi1 ,..., qim }. Если каждое

множество Ajk (k 1,..., rj ) состоит из одного, может быть, повторяющегося, элемента множества Z, то множество Aj совпадает с Аl, т. е.

споследним множеством в серии. Если множество Aj не совпадает

смножеством Аl, то из него можно получить множество Aj + 1 сле-

дующим образом. Пусть множество Ajk – произвольное из Aj, которое содержит по крайней мере два различных состояния q и q'. Они разли-

Два состояния множества Ajk принадлежат одному классу, если они не различимы словом j . По разбиению множества Ajk определим

331

разбиение множества Ajk . Если два состояния множества Ajk при-

надлежат разным классам, то состояния, в которые они переходят при подаче слова j , тоже принадлежат разным классам Ajk . Множество

Aj+1 получается как множество всех классов, получающихся из разбиения всех Ajk . Множество Ajk разбивается по крайней мере на два

класса, поэтому число множеств в Aj+1 всегда превосходит их число в Aj. После самого большого количества т применений описанной

процедуры получается множество Аl, где каждое Alk есть множество,

содержащее, может быть, только один повторяющийся элемент. Входное слово 1, 2 ,..., l переводит множество А в множество Al и по по-

строению обладает тем свойством, что каждое состояние из Al достигается с его помощью из A сразнымивыходными словами.

6.7. Синтез конечных автоматов

Языки, применяемые для описания конечных автоматов, можно разбить на две группы: языки, в которых используется переменная, определяющая внутреннее состояние, и языки, оперирующие только с понятиями «вход-выход». К первой группе относятся описания автомата с помощью таблиц и графов. Ко второй группе относятся разные варианты языка регулярных формул, предикатный язык и т. п. Последние являются более удобными для разговора между заказчиком и исполнителем. Поэтому желательно уметь переходить от описания автоматов с помощью языков второй группы к описанию автоматов на языках первой. Такой переход называют абстрактным синтезом конечного автомата.

6.7.1. Регулярные выражения

Пусть дан алфавит Х = {а1, ..., ар}, символы , Ø, +, , * и скоб-

ки. Регулярным выражением являются:

1)всякая буква алфавита X и символы , Ø;

2)выражения (Е1·Е2), (Е1 + Е2), E1 *, если E1 и Е2 – регулярные

выражения.

Других регулярных выражений не существует.

332

Регулярные выражения применяют для описания множеств слов в алфавите X, при этом символы , Ø, +, и * интерпретируют следующим образом:

1)символ – пустое слово (слово нулевой длины);

2)символ Ø – пустое множество слов;

3)множество (Е1 + Е2) – теоретико-множественное объединение множеств слов Е1 и Е2;

4)множество (Е1·Е2) есть множество всех слов вида , где –

слово из E1 и – слово из Е2. Символ • называют умножением; 5) множество (Е1*) есть множество

Некоторые свойства операций

1)E1 E2 E2 E1;

2)E1 (E2 E3) (E1 E2 ) E3;

3)E1 (E2 E3) (E1 E2 ) E3;

4)E1 (E2 E3) (E1 E2 ) (E1 E3);

5)(E1 E2 ) E3 (E1 E3) (E2 E3);

4)E1 + Ø = Ø + E1 = E1;

5)E1·Ø = Ø·E1= Ø;

8)E1 E1 E1;

9)E1 E1 E1;

10)E1* E1 (E1*);

11)E1 (E1*) (E1*) E1;

333

12)(E1*) (E1*) E1*;

13)(E1 E2 )* (E1*) (E2*) *;

14)* ;

15)Ø* .

6.7.2. События. Регулярныесобытия

Множество входных слов называется событием. Событие представимо в инициальном автомате М выходной буквой bi, если выходные слова, которые получаются при подаче на автомат М события, кончаются символом bi. Событие представимо в инициальном автомате М множеством выходных букв Y Y , если событие есть объединение

событий, представимых всеми элементами множества Y . Рассмотрим конечный автомат М в начальном состоянии q1. По-

ведение этого автомата полностью можно задать совокупностью событий Eb1 ,..., Ebt , где Ebi – множество всех входных слов, кото-

рые переходят в выходные слова, кончающиеся на букву bi ,..., bt , – выходной алфавит. Так, если дано входное слово ai1 ,..., ail , то мож-

но определить, в какое выходное слово оно перейдет, если известны события Eb1 ,..., Ebt для автомата М.

С. К. Клини показал, что всякое событие, представимое в автомате, может быть записано в виде регулярного выражения и, наоборот, – всякое событие, представимое в виде регулярного выражения, представимо в автомате. Докажем эту теорему для некоторого частного случая, а именно, будем полагать, что X = Y = {0, 1} и автомат задан уравнениями

y(t) g(z(t 1));

(6.6)

z(t 1) f (x(t), z(t)).

Теорема Клини (прямая теорема). Всякое событие, представимое в автомате, регулярно и может быть записано в виде регулярного выражения.

334

Доказательство. Пусть дан автомат М с Z q1,..., qs ,

где q1 = z(0) – начальное состояние автомата.

В случае когда автомат М задан системой (6.2) и X = Y = {0, 1}, считают, что событие представимо в автомате, если слова из этого события переводят начальное состояние q1 в состояние, которое дает на выходе букву 1.

Докажем индукцией по р, что множество eipj всех входных слов,

переводящих состояние qi в состояние qj без прохождения через состояния qk, с номерами k, большими номера р, регулярно. Множество

e0 всех входных слов, переводящих состояние qi в qj непосредственно

ij

без прохождения других состояний, есть {0}, {1}, {0 + 1}, или Ø.

Выписанное выражение является регулярным, так как построено из регулярных событий eijp 1 , eipp 1, (eppp 1) и eppj 1 с помощью опера-

ций +, ·, * .

Теперь рассмотрим автомат М с начальным состоянием q1. Пусть ql1 ,..., qlk – состояния, которые ассоциируются с выходом 1, тогда

событие, реализуемое автоматом, имеет вид

e1sl1 ... e1slh .

Таким образом, показано, что событие, реализуемое в автомате, является регулярным.

Покажем, что имеет место и обратное утверждение. Для этого введем вспомогательные понятия и их свойства.

Производнаясобытия. Свойствапроизводной

Еслидано событие Е, то под производной этого события по входному слову a понимается множество

E / E .

335

Можно дать другое определение производной для случая, когда событие представимо в виде регулярного выражения. Это определение будет иметь индуктивный характер в силу аналогичного характера определения регулярного выражения.

Даны алфавит X = {a1, ..., ар}, событие Е и слово . Производная от события Е по слову определяется следующим образом:

8)если Е – произвольное событие и , E E ;

9)если Е – произвольное событие и ai1 ,..., aik 1aik , то

E aik (ai1 ,..., aiik 1 E) .

Любое регулярное выражение Е имеет конечное число t различных производных, каждая из которых равна некоторой производной регулярного выраженияЕпо словудлины, меньшейили равной t – 1.

Теорема Клини (обратная теорема). Всякое регулярное событие представимов конечномавтомате.

Доказательство. Пусть дано регулярное событие Е. Построим конечный автомат МЕ, который будет представлять событие Е. Если событие Е имеет s различных производных, то у автомата МЕ

будет s состояний. Состояние, соответствующее производной E ,

подают 0, то он перейдет в состояние q 0 E , а если 1, то – в состояние q 1 E . Если производная содержит слово , то состояние

336

q E определяет выход 1, все остальные состояния – выход 0. Начальным состоянием автомата МЕ является состояние q E E. По

построению входные слова, которые переводят автомат МЕ из состояния q E в состояние E , начинаются со слова . С другой

стороны, слово принадлежит событию Е тогда и только тогда, когда слово принадлежит E . Следовательно, множество всех

входных слов, переводящих автомат МЕ из состояния q E в состояния, дающие выход 1, есть событие Е.

6.8.Структурный синтез конечных автоматов

6.8.1.Операции над автоматами

До сих пор автомат рассматривался с функциональной точки зрения, т. е. как нечто неделимое, выполняющее функцию. Теперь будем предполагать, что он состоит из элементов — «элементарных» автоматов, соединенных между собой, т. е. будем рассматривать структурную модель автомата. Рассмотрим связь между функциональной и структурной моделями автоматов, а именно, нахождением структурной модели по функциональной модели, и наоборот. Первая задача называется задачей структурного синтеза, вто-

рая — структурного анализа.

Задача структурного синтеза. Даны инициальный конечный ав-

томат (его таблица, система уравнений, граф), базис синтеза — список «элементарных» автоматов и правила соединения элементарных автоматов. Найти структурную схему автомата, заданного функциональной моделью. Последнее означает соединить «элементарные» автоматы по указанным правилам так, чтобы функциональная модель полученного автомата совпадала с функциональной моделью заданного автомата. Под «элементарными» автоматами понимают любые автоматы, которые в задаче синтеза рассматриваются как неделимые блоки, из которых строится структурная модель.

Остановимся на способах соединения элементарных автоматов. В этом параграфе будем полагать, что каждый автомат может иметь произвольное конечное число входов и выходов. Соединение автоматов есть отождествление входов и выходов (или входных и вы-

337

ходных полюсов). Произвольное отождествление полюсов может быть не корректно, так как, в силу определения конечного автомата, должны выполняться условия наличия в любой момент времени сигнала на всех входах и выходах и однозначности сигнала на каждом входе и выходе. Некорректность возникает, например, при присоединении к одному входу нескольких выходов или в случае петли в структурной схеме. Можно избежать некорректности, вводя ограничения на способы соединения элементарных автоматов.

Объединение автоматов. Пусть даны два автомата М1 и М2, имеющие п1 и п2 входов и m1 и т2 выходов соответственно. Автомат М1 задан системой

Объединением автоматов М1 и М2 называется автомат М с n1 n2

входами и m1 + m2 выходами и заданный системой уравнений, являющейся объединением уравнений (6.3), (6.4). Объединение автоматов М1 и М2 схематически изображено на рис. 6.6.

338

Графическое представление этой операции изображено на рис. 6.7. В силу данного определения один входной полюс можно отождествить с одним выходным.

Рис. 6.7. Операция композиции автоматов

Отождествление входов. Пусть автомат М1 задан системой уравнений (6.5). Автомат М, полученный отождествлением x1i и x1 j

входов, задается системой уравнений

z1(0) q11 .

340