Лекции_Муравьёв

многочленами от x cos . Найдем несколько первых собственных функций ( ) , которые можно отметить индексом j .

l2 0 ( j 0) . В этом случае обращается в нуль коэффициент C2 , и обрывается ряд по четным степеням. Коэффициент C0 может быть взят любым, коэффициент C1 следует выбрать равным

В принципе, этим методом можно найти любую собственную функцию j0 ( ) . Функции

j0 (cos ) (с определенными нормировочными множителями C0 и C1 ) называются полиномами Лежандра (и, как правило, обозначаются Pj (x), x cos ). Поскольку для m 0 решение урав-

нения (11) ( ) const , то функции (r, , ) R(r) j0 ( ) (при любой функции R(r) ) явля-

ˆ2 ˆ

ются общими собственными функциями операторов L и Lz , отвечающими собственным значе-

ниям l2 h2 j( j 1) и lz 0 . Поскольку функции j0 ( ) являются собственными функциями эрмитовых операторов для них справедливы условия ортогональности

(при преобразовании интеграла в (32) сделана замена x cos ).

Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение (21) для любых целых m . Приведем здесь только решения. Для фиксированного значения m собственные значения уравнения

17

где x cos , а функции v(x) представляют собой многочлены от cos . Функции jm ( ) назы-

ваются присоединенными полиномами Лежандра и обозначаются Pj|m| (x) (поскольку в уравне-

ние (21) входит только величина m2 , присоединенные полиномы Лежандра Pj|m| (x) зависят

только от | m |, что и отражено в принятых для них обозначениях) Из проведенного рассмотре-

ния следует, что каждой паре индексов j и m отвечает единственная (с точностью до множи-

теля) собственная функция.

ˆ2 ˆ

Таким образом, общими собственными функциями операторов L и Lz , отвечающими собственным значениям l2 h2 j( j 1) и lz hm , являются следующие функции (их принято на-

зывать сферическими или шаровыми функциями и обозначать Yjm (в качестве первого индекса

сферической функции принято указывать не собственное значение квадрата момента импульса и не квадратный корень из него, а квантовое число j , которое принято также называть момен-

где C - нормировочная постоянная, которая выбирается так, чтобы интеграл от квадрата модуля любой сферической функции по полному телесному углу равнялся единице. Все возможные индексы собственных значений j и m могут быть перечислены так: индекс j - момент импульса

частицы - может принимать целые неотрицательные значения; при фиксированном индексе j

индекс m - проекция момента на ось z принимает все целые значения от j до j через едини-

цу (то есть 2 j 1 значений). Очевидно, при таком способе перечисления, перебираются все те

18

Как собственные функции эрмитовых операторов сферические функции с разными индексами являются ортогональными и представляют собой базисную систему функций в пространстве функций углов и . Для сферических функций справедливо следующее условие ортогональности

19

19

19

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим ком-

(4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса

и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы ˆ неэрмитовы, они не отвечают никаким

L

наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов ˆ можно получить из определения оператора момента

L

ˆy приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по де-

L

картовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения

для операторов ˆ :

L

ственным значениям l2 и lz (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собствен-

20

ственным значениям l2 и lz h (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения

(6) также удовлетворяются).

торы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

ся, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

21

ство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось z , равной j , получим:

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию k . С одной

22

Подставляя в формулу (23) k из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

где n - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значе-

где l - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента использу-

23

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбина-

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов

ˆ n

L , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность

функции Yll ( , ) . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

24

Лекция 15 Задача двух тел. Движение в центральном поле. Общие свойства движения в центральном

поле. Вырождение по проекции и случайное вырождение. Уравнение для радиальной волновой функции. Классификация стационарных состояний дискретного спектра в центральном поле

Рассмотрим систему двух частиц. Гамильтониан имеет вид:

ординатам второй частицы. Перейдём от координат первой и второй частицы к координате центра инерции и относительному расстоянию между частицами:

это гамильтониан свободной частицы с массой M = m1 m2 . Он описывает свободное движение центра инерции двух частиц (движение частиц как целого) и зависит только от координат центра инерции. Второе слагаемое

описывает относительное движение взаимодействующих частиц. или, что тоже самое, движение частицы с массой во внешнем поле. Так же как и в классической механике величина (4)

называется приведенной массой двух частиц.

25

Благодаря тому, что гамильтониан системы представляет собой сумму двух слагаемых, од-

но из которых действует только на R , второе – на r , его собственные функции будут произве-

дениями (r1, r2 ) = ц.и. (R) отн.дв. (r ) , причем собственными функциями движения центра инер-

ции будут являться решения свободного уравнения Шредингера, то есть плоские волны:

где K - произвольный действительный вектор.

Для функций относительного движения имеем, переходя в систему отсчёта, где центр

Гамильтониан не зависит от какого-то выделенного направления, поэтому вращение си-

Всправедливости коммутационных соотношений (9) можно убедиться и непосредственно

спомощью явных выражений операторов проекций момента в сферических координатах. При этом достаточно, конечно, вычислить коммутатор гамильтониана с оператором только одной проекции – по отношению к центральному гамильтониану все проекции равноправны.

Из этих коммутационных соотношений можно сделать ряд общих выводов относительно решений уравнения на собственные функции оператора Гамильтона.

1.Поскольку операторы Гамильтона, квадрата момента и его проекции на любую ось коммутируют, они имеют полную систему общих собственных функций.

2.Поскольку операторы проекций момента на различные оси не коммутируют друг с другом, дискретные собственные значения оператора Гамильтона (уровни энергии) должны быть вырождены: одному собственному значению энергии должны отвечать

несколько разных собственных функций, отвечающих различным собственным значе-

поле называется вырождением по проекции момента.

3. Различным дискретным собственным значениям оператора Гамильтона (уровням энергии) отвечают собственные функции с различными собственными значениями опе-

ˆ2

ратора L (то есть каждый уровень энергии характеризуется определенным моментом).

26