Лекции_Муравьёв

Уравнение (10) называется оптической теоремой для рассеяния и является следствием сохранения числа частиц: в области действия потенциала нет ни «источников», ни «стоков» частиц.

Обратимся теперь к вычислению амплитуды рассеяния. Для теоретического исследования этой величины и построения приближенных методов ее вычисления удобно перейти от дифференциального уравнения Шредингера (3) к интегральному уравнению. Для этого перепишем уравнение Шредингера (3) в виде

где k 2mE / h2 . Для решения уравнения (11) используем метод функций Грина. Функцией Грина уравнения (11) называется функция двух переменных G(r, r ) , которая удовлетворяет уравнению

Выражение (13) не есть ответ для волновой функции задачи рассеяния в квадратурах - это интегральное уравнение, поскольку функция (r ) входит и в левую, и в правую часть формулы

(12). Однако оно гораздо удобнее для теоретических исследований, чем дифференциальное уравнение (3). Используя известное выражение для функции Грина свободного уравнения Шредингера (12)

получим

Поскольку для определения амплитуды рассеяния нам нужно знать поведение волновой функции на больших расстояниях от рассеивающего центра, рассмотрим уравнение (15) при r (имеется в виду на расстояниях, много больших, чем радиус действия рассеивающего потенциа-

36

ла). В этом случае можно считать, что | r |? | r |. Разлагая разность | r r | в ряд по малому па-

раметру r / r

Формула (16) определяет амплитуду рассеяния через решение уравнения Шредингера в области действия потенциала. Таким образом для его использования необходимо решить уравнение Шредингера (1) с граничным условием (6) и вычислить интеграл (16).

37

37

37

Лекция 37 Борновское приближение. Условия применимости. Быстрые и медленные частицы. Примеры

Полученная в конце прошлой лекции формула для амплитуды рассеяния

не является решением задачи рассеяния, поскольку в подынтегральное выражение в правой части (1) входит неизвестная волновая функция задачи рассеяния (r ) . Более того, найти эту

функцию, как правило, не удается и приходится прибегать к приближенным методам. Важнейшим из таких приближенных методов является метод Борна (или, как наиболее часто говорят,, борновское приближение). Для построения борновского приближения удобно использовать именно выражение (1).

Основная идея метода заключается в следующем. Пусть потенциальная энергия мала и может рассматриваться как возмущение. Тогда волновая функция задачи рассеяния будет мало

отличаться от волновой функции падающих частиц eikz и может быть найдена в виде разложения по степеням потенциальной энергии

В соответствии с этим рядом возникает и аналогичный ряд по степеням возмущения для амплитуды рассеяния. Причем ясно, что для нахождения амплитуды рассеяния в первом порядке по возмущению нужно в формулу (1) подставить волновую функцию в нулевом порядке по возму-

щению, то есть функцию падающих частиц eikz . Поэтому в первом порядке по возмущению получаем

новой вектор рассеянных частиц, направленный под углом рассеяния ) – с точностью до множителя h есть переданный при рассеянии импульс (иногда вектор q называют вектором столк-

новения). Для упругого рассеяния, которое только и рассматривается здесь, модули волновых векторов k и k0 являются одинаковыми.

Разложение (2), которое, фактически, представляет собой теорию возмущений по потенциальной энергии взаимодействия рассеивающей и рассеивающейся частиц, называется борнов-

38

ским разложением, а его первый член - формула (3) для амплитуды рассеяния - представляет собой первое борновское приближение.

Формула (3) дает выражение для амплитуды рассеяния в квадратурах и не требует решать дифференциальное уравнение. Для ее использования достаточно вычислить один интеграл. Обсудим особенности формулы Борна.

Во-первых, зависимость от угла рассеяния и энергии рассеивающихся частиц входит в формулу Борна через вектор столкновения q (см. рисунок). Из этого рисунка находим

То есть в рамках применимости борновского приближения сечение зависит от энергии и угла рассеяния только в виде комбинации (4). В частности, если сечение не зависит от энергии, то оно не зависит от угла рассеяния и наоборот.

При малых энергиях частиц kR = 1 (где R - радиус действия потенциала) в области ин-

то есть не зависит от угла рассеяния (в этом случае говорят, что сечение рассеяния является изотропным) и энергии.

При больших энергиях частиц kR ? 1 сечение оказывается резко анизотропным (или, как говорят, «вытянуто» или «направлено» вперед). Это связано с тем, что при больших углах рассеяния экспонента в случае быстрых частиц сильно осциллирует, что приводит к подавлению

Другими словами, при больших энергиях рассеяние происходит в основном в конус с углом раствора

А поскольку внутри этого конуса сечение не зависит от энергии (при малых углах рассеяния

rr

qR = 1, и экспоненту e iqr в формуле Борна можно всегда заменить на единицу, поэтому при малых углах сечение не зависит ни от угла рассеяния, ни от энергии), то полное сечение рассея-

39

ния (если, оно сходится) пропорционально 2 1/(kR)2 , то есть обратно пропорционально энергии частиц.

Остановимся теперь на условиях применимости борновского приближения. Для быстрой сходимости ряда последовательных приближений нужно, чтобы поправка первого порядка к волновой функции была мала по сравнению с волновой функцией нулевого приближения

(1) (r ) = (0) (r ) (8)

Отсюда следует, что если потенциал имеет конечный радиус действия, для применимости борновского приближения амплитуда рассеяния должна быть мала по сравнению с радиусом действия потенциала

Формула (11) имеет простой смысл. Поскольку значение глубины потенциала (11) – это такое значение, при котором в потенциальной яме возникает уровень, то, можно сказать, что борновское приближение работает, если величина потенциала много меньше глубины ямы, в которой есть связанное состояние.

Быстрые частицы kR ? 1. В этом случае формула Борна приводит к уменьшению амплитуды из-

где U0 - характерное значение потенциала, и условие (12) дает ограничение на величину потен-

циальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц

40

Из формулы (13) следует, что для достаточно быстрых частиц борновское приближение всегда работает.

В случае кулоновского потенциала нельзя говорить о характерной области его действия, поскольку этот потенциал медленно спадающий. Однако ясно, что условие применимости бор-

где a характерный параметр длины для кулоновского потенциала, то есть это боровский радиус

h2 2 . В результате из формулы (14) получим условие применимости борновского приближе- mZe

ния для кулоновского поля в случае быстрых частиц

где v - скорость рассеивающихся частиц. Условие применимости борновского приближения в кулоновском поле (15) имеет наглядный смысл, а именно

где vB - скорость электрона на первой боровской орбите.

Отметим еще одно важное свойство борновского приближения. Как следует из формулы Борна (3) амплитуда рассеяния на угол нуль является действительной. Поэтому Im f (0) 0 , и,

следовательно, оптическая теорема в борновском приближении заведомо не выполняется. Эта особенность борновского приближения связана с тем, что в первом борновском приближении

так же как и в правой не должно быть величин, линейных по возмущению. Отсюда с необходи-

мостью следует, уже отмеченное нами утверждение, что Im f B (0) 0 . Это значит, что в первом борновском приближении оптическая теорема не нарушается, а просто имеет вид тождества

0 0 .

41

При этом приближенное выполнение оптической теоремы (с учетом ненулевого полного сечения) обеспечивается вторым порядком борновского приближения для амплитуды рассеяния

Доказательство этого утверждения выходит за рамки настоящего курса, поэтому мы возьмем его

Вычисляя в формуле (3) интеграл по углам (для этого удобно направить ось z по вектору q ),

получим

Вычисляя интеграл (20) (который вычисляется элементарно, и потому не требует комментариев), получаем

При больших энергиях и не слишком малых углах рассеяния формула (21) сводится к резерфордовской. Это связано с тем, что большим углам рассеяния отвечают малые прицельные пара-

метры, и, следовательно, частицы не замечают экранировки кулоновского потенциала U (r) r

множителем e r / R , который порядка единицы при малых расстояниях. При малых углах рассеяния сечение не расходится (как резерфордовское) из-за экранировки потенциала, которое обеспечивает, таким образом, сходимость полного сечения.

42

42

z k0

k q

42

43

Лекция 38

Разложение волновой функции задачи рассеяния по сферическим функциям. S-матрица. Фазовая теория рассеяния

Наряду с теорией рассеяния, изложенной в предыдущей лекции, часто используется другой вариант теории, именуемый фазовой теорией рассеяния. Основная идея этой теории заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным моментам (по сферическим функциям). В результате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные амплитуды, знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к суммированию бесконечного ряда. Изложим подробно эту теорию рассеяния.

Пусть рассеяние частиц происходит на сферически симметричном потенциале, и частицы падают на потенциал вдоль оси z . Тогда на больших расстояниях от рассеивающего центра волновая функция задачи рассеяния имеет вид «плоской волны плюс расходящейся сферической волны»:

где f ( ) - амплитуда рассеяния. Разложим функцию (1) по сферическим функциям. При этом заметим, что благодаря выбранной геометрии задачи (падение частиц вдоль оси z ) угол рассеяния в формуле (1) есть полярный угол сферической системы координат, а от азимутального угла в формуле (1) вообще ничего не зависит. Поэтому, фактически, разложение будет произ-

водится по функциям Yl 0 , которые с точностью до множителя совпадают с полиномами Лежан-

дра от cos .

С другой стороны, общее решение стационарного уравнения Шредингера в поле с центральной симметрии, не зависящее от переменной , на больших расстояниях от области действия по-

тенциала может быть записано в виде

44

где Cl - коэффициенты разложения, l - некоторые действительные фазовые сдвиги, возника-

ющие из-за взаимодействия рассеивающихся частиц с потенциалом (поскольку в разложении решения (2) свободного уравнения Шредингера эти фазовые сдвиги отсутствуют). Величины l

называются фазами рассеяния.

Амплитуду рассеяния можно выразить через фазы рассеяния. Для этого найдем разность

(r, ) eikz на больших расстояниях от области действия потенциала. С одно стороны, эта раз-

ность есть

С другой стороны, эта разность определяется разностью формул (2), (3), из которых должна,

следовательно, выпасть сходящаяся сферическая волна e ikr / r . Поэтому, вычитая (2) из (3) находим, что

А интегрируя формулу (7) по углам с использованием ортогональности полиномов Лежандра –

45