Лекции_Муравьёв

неотрицательных целых чисел k и m , то есть N n 1 способов. А поскольку квантовое число n может принимать любые значения от n 0 до n N , то кратность вырождения N -го уровня сферического осциллятора G(N) равна

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения G(N 1) 3 , ему отвечают три различных собственных функции

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам nr , l и m , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции nrlm (r, , ) не обязаны совпадать с nkm (x, y, z) из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифици-

ровать по квантовым числам nr , l и m , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с l 0 вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые чис-

ла l 0 , m 0 . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то nr 0 (в задаче о сфе-

рическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля). Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного

уровня осциллятора равна G(N 1) 3 . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа nr 0 , l 1. При этом три собственные функции можно выбрать так,

37

чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось z : m 0, 1, 1.

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна G(N 2) 6 . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме l 0,1, 2 . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом l по про-

екции момента равна 2l 1, получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энерге-

тическому уровню: nr 1, l 0 , m 0 и nr 0, l 2 , m 2, 1, 0,1, 2 . Как видно из этих рассу-

ждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с l 0 (nr 1) и с l 2 (nr 0) одинаковы.

38

Лекция 17 Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина

Рассмотрим составную частицу, состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение (примером такой составной частицы может быть ядро дейтерия, состоящее из нейтрона и протона). Состояния такой частицы могут быть описаны с помощью волновой функции, зависящей от ее координаты как целого, например, коорди-

наты центра инерции R , и координаты относительного движения r . Такая волновая функция определяет вероятности различных положений частицы как целого и относительного положения ее составных частей. Физическим величинам, определяемым «внутренними» переменными, отвечают операторы, действующие на координату r , величинам, связанным с движением частицы как целого, - операторы, действующие на радиус-вектор центра инерции. В частности, моменту

действующие на относительную переменную и обладающие всеми свойствами операторов момента, которые рассматривались ранее. В частности, квадрат момента относительного движения может иметь определенное значение вместе с одной из проекций (например, с Lz ). Проекции

«внутреннего» момента одновременно определенных значений, вообще говоря, не имеют. Общими собственными функциями операторов квадрата момента импульса «внутреннего» движе-

относительного радиуса-вектора, при этом индекс l определяет величину «внутреннего» мо-

мента импульса частицы, индекс m - его проекцию на ось z , то есть ориентацию вектора момента в пространстве. Квантовые числа l и m могут принимать следующие значения: l 0,1,2,... , при фиксированном l квантовое число m может принимать дискретный ряд значе-

ний от l до l через единицу.

Рассмотрим теперь такое состояние составной частицы, когда энергия и момент внутреннего движения фиксированы, и будем интересоваться только величинами, относящимся к движению частицы как целого. С одной стороны, при таком описании нам нужна только та часть волновой функции, которая связана с «внешним» движением. Однако с другой стороны есть одна характеристика «внутреннего» движения, которая не фиксируется фиксацией внутреннего состояния частицы - это проекция внутреннего момента на любую выделенную ось. Эта проекция может меняться при фиксированном внутреннем состоянии составной частицы, и, следова-

39

тельно, при описании «внешнего» движения необходимо учесть возможность изменения этой проекции. Это значит, что та часть волновой функции составной частицы, которая описывает «внешнее» движение должна содержать еще одну дискретную переменную - проекцию вну-

треннего момента на выделенную ось (R,lz ) и определять вероятность того, что частица нахо-

дится в той или иной точке пространства и имеет то или иное значение проекции внутреннего момента на выделенную ось.

Таким образом при описании движения составной частицы как целого в случае, когда не меняется ее «внутреннее» состояние, квантовая механика формально допускает введение дополнительной дискретной координаты, характеризующей внутренние степени свободы. Поэтому нельзя a priori отвергнуть существование такой координаты для элементарных частиц только на основе их «элементарности».

Как показывает опыт, элементарные частицы кроме момента импульса, связанного с движением в пространстве (и который в этом контексте называют «орбитальным»), могут обладать и «внутренним» моментом импульса, который не зависит от их пространственного движения. Этот момент называется спином частицы. Величина «внутреннего» момента (или спина) - такая же характеристика любой элементарной частицы, как ее масса или заряд, и которая независимо от состояния этой частицы всегда имеет определенное значение. Проекция же вектора спина на некоторую ось может в тех или иных случаях принимать различные значения, а также может меняться при действии на частицу тех или иных полей.

Как и всякой векторной физической величине спину соответствует некоторый оператор

rˆ

s , имеющий три компоненты, причем можно предположить, что для операторов, отвечающих проекциям спина, справедливы те же коммутационные соотношения, что и для операторов проекций орбитального момента импульса (здесь и далее в этой главе h 1)

Такие коммутационные соотношения можно ожидать из следующих соображений. Мы установили (когда рассматривали момент импульса), что волновая функция при повороте системы координат преобразуется следующим образом:

rˆ

причем для проекций оператора L на координатные оси справедливо соотношение (*). Поэтому и здесь мы должны допустить справедливость соотношений (1).

40

Из соотношений (1) следует, что оператор квадрата спина имеет общие собственные функции с одним из операторов проекций, в то время как операторы проекций спина общих собственных функций не имеют. Коммутационные соотношения (1) позволяют найти все соб-

ственные значения операторов sˆ2 , sˆx , sˆy и sˆz . А именно, собственные значения оператора квад-

рата спина могут быть записаны в виде s(s 1) , где s - неотрицательное целое или «полуцелое» число (т.е. число вида 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 ...). Собственные значения оператора проекции спина на любую ось для частицы со спином s равны s s 1, s 1, ..., s .

Как отмечено выше, существование спина у частиц приводит к тому, что в число аргу-

ментов волновой функции необходимо ввести дискретную «спиновую координату» sz , которая принимает значения, равные различным возможным значениям проекции спина на ось z . Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее можно записывать в виде индекса, или записывать волновую

договорившись, что квадрат модуля верхней компоненты | 1 (r ) |2 определяет вероятность того,

что частица находится в точке с координатами r и имеет проекцию спина на ось z , равную s

(максимальное значение), квадрат модуля второй компоненты | 2 (r ) |2 определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами r и имеет проекцию спина на ось z , равную s 1 (второе по величине значение) и так далее. Из определения волновой функции части-

определяет вероятность того, что частица имеет проекцию спина на ось z , равную s независи-

мо от ее положения в пространстве, а величина | 1 (r ) |2 | 2 (r ) |2 ... определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами r независимо от проекции спина. Естественным образом модифицируются при наличии спина скалярное произведение волновых

и условие нормировки волновой функции

41

которое выражает то обстоятельство, что сумма вероятностей всех возможных несовместных событий, происходящих с частицей, равна единице.

В квантовой механике часто приходится рассматривать такие состояния, когда вероятности различных значений проекций спина не зависят от координат. В этом случае пространственные и спиновые переменные в волновой функции разделяются (это обстоятельство является отражением теоремы умножения вероятностей независимых событий) и волновая функция имеет

где 1 , 2 ,... - числа. В этом случае о волновой функции (r ) говорят как о пространственной части волновой функции, а столбец из чисел 1 , 2 ,... определяющих вероятности различных значений проекции спина на ось z , называют спиновой частью волновой функции (или просто спиновой волновой функцией, или спинором).

В случае частиц со спином квантовомеханические операторы физических величин должны связывать друг с другом различные функции вида (6). При этом, поскольку спин никак не связан с пространственным положением частицы, операторы спина должны связывать различные спиновые функции (то есть «действовать» на спиновую функцию) и никак не затрагивать функции, зависящие от пространственных переменных (не «действовать» на функции простран-

каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица из чисел aij . Матрицу любого спинового оператора можно найти, если известен результат действия

42

Из этого соотношения мы определяем только модули матричных элементов. Фазы выбираются произвольно. Мы выбрали фазы так, чтобы у матричных элементов фазы были нулевы-

оператора спина.

43

Построим матрицы спиновых операторов для частицы со спином ½. Выберем в качестве базисных функций спиноры

Очевидно, искомые матрицы представляют собой матрицы размерности 2 2 . Начнем с по-

строения матрицы оператора sˆz . Очевидно, в базисных состояниях проекция спина частицы на ось z имеет определенное значение - sz 1/ 2 в первом состоянии и sz 1/ 2 во втором. Это связано с тем, что согласно определению спиновой функции вероятность обнаружить проекцию спина sz 1/ 2 в первом состоянии равна 1, во втором 0, и наоборот для проекции sz 1/ 2 .

Следовательно, функции (9) являются собственными функциями оператора sˆz , отвечающими соответствующим собственным значениям 1/ 2 первая, и 1/ 2 вторая. Поэтому для матрицы оператора sˆz выполнены условия

Для построения матриц операторов sˆx и sˆy найдем сначала матрицы операторов

sˆ sˆx isˆy . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина та-

кие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов sˆ на собствен-

ные функции оператора sˆz получаются также собственные функции этого оператора, отвечаю-

щие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов sˆ ( sˆ ) на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

44

Матрицы операторов sˆx , sˆy и sˆz (11), (14) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются x , y и z .

Матрицу оператора sˆ2 легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов

Матрицу (15) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) являет-

определенное значение), то матрица оператора sˆ2 является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны 3/ 4, то есть матрица оператора sˆ2 и есть матрица (15).

Свойства матриц Паули А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовы-

ми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие x2 = y2 = z2 = 1, где 1 – единичная матрица.

Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В. i k = ik i ikl l

Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: U (2 2) = a0 a . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули ({1, i }) образуют полный набор матриц

(2 2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. i k k i = 2 ik . В частности, x y = y x , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняет-

45

ся знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

[ i k ] = 2i ikl l

(двойка в этом соотношении связана с тем, что sˆi (1/ 2) i ).

46

46

46