Лекции_Муравьёв

а также функции, отличающиеся от (3) перестановками аргументов и их произвольные линейные комбинации, а собственными значениями – суммы соответствующих собственных значений

Здесь индексы ki представляют собой набор квантовых чисел состояний одной частицы. В си-

стемах тождественных бозонов допустимыми являются только симметричные линейные комбинации функций вида (3), в системах фермионов - антисимметричные. Для бозонов квантовые числа ki в выражениях (3), (4) могут повторяться, для фермионов (согласно принципу Паули)

все квантовые числа ki в выражениях (3), (4) различны. Об этой ситуации говорят, что все фер-

мионы находятся в различных одночастичных состояниях.

Очевидно, нужным образом симметризованная (для бозонов или фермионов) линейная комбинация функций вида (3) определяет такое состояние системы тождественных частиц, в котором одна частица (неизвестно какая благодаря тождественности) находится в состоянии с квантовыми числами k1 , одна (тоже неизвестно какая) - в состоянии с квантовыми числами k2 и

т.д. Назовем число частиц, которые находятся в одночастичном состоянии ki , числом заполне-

ния этого одночастичного состояния и обозначим nki . Из-за антисимметричности волновых функций в системах тождественных фермионов введенные числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1, в системах тождественных бозонов - любые целые неотрицательные значения (не превосходящие, конечно, числа частиц в системе). Поскольку набор всех чисел за-

полнения однозначно определяет собственную функцию k1 ,k2, ... (x1, x2 ,...) , в качестве индексов у

собственных функций гамильтониана (2) можно указывать не квантовые числа состояний ki , в

которых находятся частицы, а числа заполнения всех одночастичных состояний

своему построению волновые функции (5) описывают такие состояния системы тождественных частиц, в которых числа заполнения одночастичных состояний имеют определенные значения. При этом, если взять суперпозицию состояний с разными числами заполнения, то согласно постулатам квантовой механики такая функция будет описывать состояние, в котором с определенными вероятностями могут быть обнаружены числа заполнения, отвечающие состояниямслагаемым. Перебирая все возможные значения чисел заполнения в (5) (при фиксированной их

26

сумме, которая равна числу частиц в системе), мы перечислим все собственные функции оператора Гамильтона для этой системы частиц, то есть построим полную систему функций в пространстве состояний данной системы тождественных частиц.

Рассмотрим теперь волновую функцию (x1, x2 ,...) произвольного состояния (не обяза-

тельно стационарного) рассматриваемой системы тождественных частиц. Так как функции (5)

где C(n1, n2 ,...) - коэффициенты разложения, суммирование проводится по всем возможным значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Поскольку собственные функции

n1 ,n2 ,... (x1, x2 ,...) описывают состояния с определенными значениями чисел заполнения, то со-

гласно постулатам квантовой механики квадрат модуля коэффициента C(n1, n2 ,...) определяет вероятность того, что в состоянии (x1, x2 ,...) числа заполнения состояний 1, 2, ... равны соот-

ветственно n1, n2 ,... Поэтому согласно логике определения волновой функции в различных представлениях функция чисел заполнения C(n1, n2 ,...) представляет собой волновую функцию квантовой системы в представлении чисел заполнения или вторичноквантованную волновую функцию (ср. с определением волновой функции в импульсном представлении). Аргументами функции являются целые неотрицательные целые числа: первым аргументом - число заполнения одночастичного состояния 1, которое может принимать значения n1 0,1,2,..., вторым – число заполнения одночастичного состояния 2, которое может принимать значения n2 0,1,2,... и т.д.

Другими словами, аргументами вторичноквантованных волновых функций являются дискрет-

ные переменные n1, n2 ,... ). Если функция (x1, x2 ,...) совпадает с одной из собственных функ-

ций гамильтониана, то есть описывает состояние с определенными значениями чисел заполнения, то в сумме (6) представлено только одно слагаемое с единичным коэффициентом, и, следо-

вательно, в пространстве чисел заполнения такому состоянию отвечает функция C(n1, n2 ,...) ,

равная единице только для одного набора аргументов n1, n2 ,... , и равная нулю для всех осталь-

ных значений аргументов.

27

Из условия нормировки функции (x1, x2 ,...) (6) и ортонормированности функций с определенными значениями чисел заполнения следует условие нормировки вторичноквантованных волновых функций

n1 ,n2 ,...

которое отражает тот факт, что сумма вероятностей различных значений чисел заполнения равна единице. В (7) суммирование проводится по всем возможным значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Отсюда следует, что скалярное произведение вторичноквантованных волновых функций нужно определить так

Поскольку вторичноквантованная волновая функция определяет вероятности различных значений чисел заполнения, с ее помощью можно найти средние значения любых функций чисел заполнения, например, среднее число заполнения некоторого одночастичного состояния i в состоянии системы частиц, которое описывается вторичноквантованной волновой функцией

C(n1, n2 ,...) :

Очевидно, скалярное произведение двух волновых функций любых состояний системы тожде-

ственных частиц , % можно вычислять, используя как координатные, так и вторичнокванто-

ванные волновые функции этих состояний

ортонормированность функций n1 ,n2 ,... (x1, x2 ,...) ). Поэтому и матричные элементы любого опе-

ˆ %

ратора , A , действующего на функции координат системы, можно вычислять с использо-

ванием вторичноквантованных волновых функций, если найти этот оператор в представлении

ˆ

чисел заполнения. Этот оператор - обозначим его A(n1, n2 ,...) - должен действовать на вторично-

квантованные волновые функции состояний C(n1, n2 ,...) .

28

Для построения операторов физических величин в представлении чисел заполнения вво-

дятся специальные операторы aˆi и aˆi , действующие на вторичноквантованные волновые функ-

ции. Для бозонов оператор aˆi определяется следующим образом: действуя на функцию с опре-

деленным значением числа заполнения ni одночастичного состояния i , оператор aˆi уменьшает число заполнения этого состояния на единицу ni ni 1 и умножает эту функцию на ni

Другими словами, что при действии оператора aˆi на волновую функцию состояния с опреде-

ленными значениями чисел заполнения получается также состояние с определенными значениями чисел заполнения, в котором, однако, число заполнения i -го одночастичного состояния меньше на единицу; числа заполнения других одночастичных состояний не меняются. Поэтому оператор aˆi называется оператором уничтожения частицы в i -ом одночастичном состоянии и связывает волновые функции состояний с разным числом частиц (которые, отметим, в координатном представлении имеют разное число аргументов).

Введенные операторы aˆi (10) не являются эрмитовыми. Легко проверить (вычисляя мат-

ричные элементы оператора aˆi ), что оператор aˆi , эрмитово сопряженный оператору aˆi , должен на состояния с определенными значениями чисел заполнения одночастичных состояний действовать так

стоянии i . Из определений бозонных операторов рождения и уничтожения можно получить

29

то есть операторы aˆi и aˆ j (а также aˆi и aˆ j ) коммутируют для любых значений индексов; опе-

раторы aˆi и aˆ j коммутируют, если i j , и не коммутируют, если i j , причем их коммутатор

равен единице.

Для фермионов операторы рождения и уничтожения определяются формулами, аналогичными (10), (11), в которые вводятся определенные фазовые множители (с помощью этих множителей учитывается антисимметрия волновой функции системы тождественных фермионов). При этом фермионные операторы рождения и уничтожения удовлетворяют следующим

То есть для фермионных операторов перестановочные соотношения – антикоммутационные. Операторы физических величин в представлении чисел заполнения могут быть выраже-

ны через операторы рождения и уничтожения частиц. Эти выражения таковы. Если оператор некоторой физической величины представляет собой сумму одинаковых операторов, каждый из

a

рует частицы системы), например, оператор импульса системы частиц, момента импульса системы, кинетической энергии системы и др., то в представлении чисел заполнения этот оператор имеет вид

ij

ˆ

где Vij - матричный элемент оператора V (xa ) с одночастичными волновыми функциями, сум-

мирование проводится по всем одночастичным состояниям. Выражение (14) имеет место как для систем тождественных бозонов, так и фермионов. Только для бозонов справедливы перестановочные соотношения (12), для фермионных операторов справедливы перестановочные соотношения (13).

Из формулы (13) легко найти, например, выражение оператора Гамильтона системы невзаимодействующих частиц. Поскольку волновые функции одночастичных состояний являются собственными функциями одночастичного гамильтониана, его матричные элементы с этими функциями диагональны и равны одночастичным энергиям Ei . Поэтому

30

Для операторов, представляющих собой сумму слагаемых, каждое из которых действует на координаты сразу двух частиц (например, для оператора потенциальной энергии взаимодействия частиц)

ˆ

где Vij,kl - матричный элемент оператора V (xa xb ) с одночастичными волновыми функциями,

суммирование проводится по всем одночастичным состояниям.

С помощью операторов рождения и уничтожения можно определить операторы чисел заполнения одночастичных состояний и числа частиц в системе. Легко проверить, что волновые функции любых состояний с определенным числом заполнения одночастичного состояния i (и

i

где сумма распространяется на все одночастичные состояния, является оператором числа частиц в системе.

Важно подчеркнуть, что использование метода вторичного квантования для вычисления матричных элементов и средних в нерелятивистской квантовой механике существенно упрощает вычисления, поскольку позволяет не следить за симметрией волновых функций – она автоматически учитывается перестановочными соотношениями (12) для систем тождественных бозонов и (13) для тождественных фермионов. Тем не менее вычисления матричных элементов и средних могут быть выполнены и в координатном представлении. Важным теоретическим достоинством метода вторичного квантования является то обстоятельство, что вторичноквантованная волновая функция не содержит нефизических индексов, отмечающих координаты прин-

31

ципиально неразличимых частиц. В релятивистской квантовой теории, в которой рассматриваются процессы с изменением числа частиц, метод вторичного квантования является, по существу, единственным методом вычисления матричных элементов, поскольку в рамках этого метода могут быть вычислены матричные элементы от волновых функций, зависящих (в координатном представлении) от разного числа переменных.

32

32

32

Лекция 36 Квантовое описание рассеяния. Амплитуда и сечение рассеяния. Оптическая теорема

Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального движения благодаря взаимодействию с рассевателем. Процесс рассеяния дает информацию о взаимодействии рассеивающихся частиц и их структуре. Первые эксперименты по рассеянию частиц были поставлены Э.Резерфордом. На основе этих экспериментов Резерфорд построил планетарную (ядерную) модель атома. Если в процессе рассеяния не меняется структура рассеивающихся частиц и не меняется их внутреннее состояние, то рассеяние называется упругим. Если внутреннее состояние частиц меняется, то рассеяние называется неупругим. Ниже будет рассматриваться только упругое рассеяние.

В реальной постановке опытов по рассеянию мы не имеем возможности проследить за отклонением каждой частицы: мы всегда имеем поток частиц, падающих на рассеиватель, а измеряем распределение частиц по углу рассеяния, то есть описываем процесс рассеяния статистически. Для статистической характеристики процесса рассеяния вводится понятие дифференциального сечения рассеяния, которое определяется как отношение числа частиц dN( ) , рассе-

янных в единицу времени под углом в малый интервал телесного угла d к плотности пото-

является характеристикой взаимодействия частиц в процессе рассеяния, и не зависит от числа падающих частиц и телесного угла d . Эта величина, имеющая размерность площади, называется дифференциальным сечением рассеяния. Дифференциальное сечение показывает величину площади площадки, перпендикулярной сечению налетающего пучка, попадая в которую частицы рассеиваются под углом в малый интервал телесного угла d . Интеграл по полному телесному углу (если он сходится) называется полным сечением рассеяния.

Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о движении одной частицы с приведенной массой в поле U (r) силового центра. В этом случае мы описываем движение частиц в системе отсчета, в которой покоится центр инерции рассеиваю-

33

щейся и рассеивающей частицы. «Возвращение назад» в лабораторную систему отсчета совершается стандартными кинематическими методами.

Основная идея квантовомеханического описания процесса рассеяния заключается в следующем. Волновая функция рассеивающихся частиц позволяет найти и плотность потока падающих, и плотность потока, а следовательно, количество рассеянных под углом частиц, а следовательно, и сечение рассеяния. Поэтому для описания процесса рассеяния необходимо найти волновую функцию (r ) рассевающих частиц. При этом если рассматривается рассеяние ча-

стиц с определенной энергией E , то волновая функция (r ) является решением стационарного уравнения Шредингера

гамильтониан рассеивающихся частиц. Поскольку потенциальная энергия обращается в нуль на больших расстояниях от рассеивающего центра, уравнение (3) переходит в уравнение Шредингера для свободного движения (U (r ) 0 ) на больших расстояниях от рассеивающего центра.

Поэтому асимптотически волновая функция задачи рассеяния должна переходить в одну из волновых функций свободного движения. Какую? Ведь свободное уравнение Шредингера имеет бесконечно много решений. Пусть частицы падают на рассеивающий центр в положительном направлении оси z . Тогда на больших расстояниях волновая функция падающих частиц есть

плоская волна eikz , где k 2mE / h2 . Рассеянные частицы на большом расстоянии от рассеива-

ющего центра описываются приближенным решением уравнения Шредингера

f ( )eikr (5) r

которое представляет собой расходящуюся сферическую волну (где f ( ) - некоторая функция угла). Таким образом, волновая функция рассеивающихся частиц (волновая функция задачи рассеяния) – это такое решение стационарного уравнения Шредингера, которое на больших расстояниях от рассеивающего центра имеет вид

34

Выражение (6) представляет собой граничное условие, которому должна удовлетворять волновая функция задачи рассеяния. Функция угла рассеяния f ( ) в граничном условии задачи рассеяния (6) называется амплитудой рассеяния.

По функции (6) легко найти дифференциальное сечение рассеяния. Для этого по функции eikz находим поток падающих частиц ( j hk / m ), по функции (5) – поток распространяющихся

(при этом при нахождении потока j1 мы дифференцировали только по r и только экспоненту;

остальные производные быстрее обращаются в нуль с ростом r ). Количество частиц, рассеян-

ных в элемент телесного угла d , есть j1r2d . Отсюда находим для дифференциального сече-

ния рассеяния

Таким образом, для нахождения дифференциального сечения необходимо решить уравнение Шредингера с граничным условием (6), из этого решения найти амплитуду рассеяния, по формуле (8) – сечение рассеяния.

Прежде чем рассмотреть способы вычисления амплитуды упругого рассеяния частиц рассмотрим одно общее свойство амплитуды рассеяния, которое называют условием унитарности для рассеяния.

Согласно определению полное сечение рассеяния (которое есть интеграл от амплитуды рассеяния по полному телесному углу) пропорционально полному количеству рассеянных в единицу времени частиц. Поэтому количество частиц, движущихся в первоначальном направле-

должна описывать уменьшение частиц в падающем потоке. Легко проверить с помощью формулы для плотности потока, что это уменьшение будет пропорционально мнимой части амплитуды рассеяния при 0 (или, как часто говорят, амплитуды рассеяния «вперед» или «на угол нуль»). В результате имеем

35