Лекции_Муравьёв

Лекция 28 Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры

Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра.

Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале, в котором отсутствует «случайное» вырождение уровней энергии. На эту систему накладывается слабое однородное электрическое поле с напряженностью E . Докажем, что в первом порядке теории возмущений расщепления энергетических уровней частицы не происходит.

Стационарные состояния частицы (в отсутствии спина) в центрально-симметричном поле

можно классифицировать с помощью трех квантовых чисел: радиального квантового числа nr ,

орбитального момента l и его проекции m на одну из координатных осей (например, ось, на-

l является 2l 1-кратно вырожденным по проекции момента (по условию «случайное» вырождение отсутствует). То есть собственные значения оператора Гамильтона, отвечающие соб-

ственным состояниям с одинаковыми значениями радиального квантового числа nr и момента l , но с разными значениями m проекции момента на ось z совпадают.

При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавляется

равны нулю. Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции (0) (r ) от уг-

nrlm

лов определяется сферической функцией Ylm , оператора возмущения - сферической функцией

Y10 (поскольку cos : Y10 ), поэтому матричный элемент (1) содержит следующий интеграл по переменной :

36

энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле под действием возмущения

Отметим, что проведенное рассмотрение не годится при наличии «случайного» вырождения, характерного, например, для кулоновского поля, когда вырожденными являются состояния с различными l . Рассмотрению расщепления уровней энергии электрона в кулоновском поле под действием однородного электрического поля (эффект Штарка) посвящен конец сегодняшней лекции.

Рассмотрим теперь бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле, на которую наложено слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z . В первом порядке теории возмущений найдем расщепление энергетического уровня с полным моментом l .

Поскольку невозмущенный гамильтониан частицы, находящейся в центральном поле, коммутирует с операторами квадрата момента импульса и его проекции на ось z , его собственные функции являются также и собственными функциями операторов квадрата момента и его проекции на ось z , причем уровни энергии 2l 1-кратно вырождены по проекции момента. То есть волновые функции стационарных состояний, отвечающие одному уровню энергии могут быть выбраны как

энергии (здесь мы также предполагаем, что «случайное» вырождение по моменту, характерное, например, для движения частицы в кулоновском поле или трехмерного гармонического осциллятора, отсутствует).

Классическая энергия взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем напря-

ˆ r

женности H определяется выражением V H , где - магнитный момент, связанный с

движением частицы в пространстве (так как по условию спин частицы равен нулю, то она не имеет магнитного момента, связанного с ее «внутренними» степенями свободы или, другими словами, с внутренними движениями):

ний можно построить квантовомеханический оператор взаимодействия частицы с магнитным полем

37

функции невозмущенного гамильтониана являются правильными функциями нулевого приближения. Действительно, легко проверить, что все недиагональные матричные элементы операто-

ра (5)

равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана. Поэтому функции (3) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными матричными элементами оператора (5) с функциями (3). Находим

где E - невозмущенная энергия. Как следует из (8) энергии всех состояний различны, что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса, характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.

Рассмотрим теперь взаимодействие заряженной частицы, находящейся на первом возбужденном уровне энергии в кулоновском поле притяжения с однородным электрическим полем (эффект Штарка).

Напомним, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода име-

ет энергию E e2 /8a ( a - боровский радиус), является четырехкратно вырожденным, поскольку ему отвечают: одно состояние с моментом l 0 и три состояния с моментом l 1. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут быть выбраны в следующем виде

38

При наложении на атом однородного электрического поля к гамильтониану электрона

ных комбинаций функций (9), (10). Подставляя эти линейные комбинации в возмущенное урав-

нение и умножая его последовательно на i(0) и интегрируя, получим систему уравнений для коэффициентов

Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (11) не равны нулю только матричные элементы V31 V13 . Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется элементарно)

Система однородных уравнений для неизвестных коэффициентов (11) имеет ненулевые решения, если ее определитель равняется нулю

Из уравнения (14) в первом порядке теории возмущений находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый возбужденный уровень атома водорода под действием однородного электрического поля

1,2 E 3 E 3eaE 4 E 3eaE (14)

Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет двукратно вырожденным, остальные два – невырожденными. Таким образом, вырождение, имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.

Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, - состояния с моментом

39

l 1 и проекциями m 1 и m 1 (или любая их линейная комбинация). Сдвинутым состояниям – линейные комбинации состояний с l 1, m 0 и l 0 , m 0 . Предлагаем слушателям убедиться в этом самостоятельно и найти коэффициенты правильных линейных комбинаций.

40

40

40

Лекция 29 Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера

где n (x) и n - собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона системы,

а постоянные Cn определяются начальной волновой функцией (x,t 0) :

Так как решение (2) представляет собой разложение волновой функции системы по собственным функциям оператора Гамильтона, то вероятность обнаружить при измерении энергии E

Из (4) следует, что если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то вероятность обнаружить систему в том или ином собственном состоянии гамильтониана не зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в k -ом собственном состоянии гамильтониана (в сумме (2) – одно слагаемое), то она будет находится в нем в любой момент времени (то есть в сумме (2) так и останется одно слагаемое).. Действительно, в этом случае Cn k 0 , Cn k 1 и, как это следует из (4), w(E n k ) 0 , w(E n k ) 1 в любой момент времени.

Совершенно другое положение имеет место в случае, когда гамильтониан явно зависит от времени. Такие случаи реализуются, например, когда стационарные квантовые системы подвергаются воздействию внешних возмущений, зависящих от времени. В этом случае функция

41

вида (2) уже не является решением временного уравнения Шредингера (1) ни при каком выборе постоянных Cn . Поэтому коэффициенты разложения волновой функции (x,t) по любой пол-

ной системе функций и, в частности, по собственным функциям гамильтониана системы в ка- кой-то момент времени

являются функциями времени, квадраты модуля которых зависят от времени. Следовательно, вероятность обнаружить квантовую систему в том или ином квантовом состоянии зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в един-

ственном состоянии k (x) , входящем в некоторую полную систему функций, не зависящих от времени, то в последующие моменты времени она может быть обнаружена в других состояниях

n (x) , входящих в ту же систему. Таким образом, при воздействии на квантовую систему зави-

сящих от времени возмущений она может совершать переходы из одних стационарных состояний в другие. При этом согласно основным принципам квантовой механики вероятность перехода из k -го состояния в n -ое к моменту времени t определяется квадратом модуля функции

An (t) в (5), (при условии, что (x,t 0) k (x) ). Поэтому для вычисления вероятности перехо-

да квантовой системы под действием зависящего от времени возмущения необходимо найти ее волновую функцию из уравнения (1) и разложить эту функцию по любой полной системе функций. Нахождение волновых функций квантовых систем из уравнения (1) в случае зависящего от времени гамильтониана, как правило, представляет собой сложную математическую проблему, поскольку в уравнении Шредингера не разделяются временная и пространственные переменные. В некоторых случаях возможны, однако, простые решения этой задачи.

Пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан представим в виде

Шредингера (1) в этом случае заключается в следующем. Разложим волновую функцию кванто-

42

где An (t) - некоторые неизвестные функции времени. Если выделить из них временные экспо-

ненты exp i nt / h , то можно функцию (x,t) представить в виде

где в отличии от (2) коэффициенты Bn являются некоторыми функциями времени. Если возму-

причем «нулевое» слагаемое Cn определяется волновой функцией системы до включения воз-

мущения. Подставляя ряд (9) во временное уравнение (1) и собирая слагаемые одного порядка малости по V , можно получить явные выражения для Bn (t) . Такой метод нахождения функций

Bn (t) называется теорией нестационарных возмущений (иногда ее называют также «нестацио-

нарной теорией возмущений»). Приведем здесь только окончательные формулы этого метода.

представляют собой матричные элементы оператора возмущения в базисе собственных функцийi (x) , величина

kn 1h k n

имеющая размерность «1/время», называется частотой перехода между стационарными состояниями k и n . Согласно основным принципам квантовой механики квадраты модулей коэффи-

43

циентов Bn (t) определяют вероятности перехода из начального состояния ( k -го собственного

ˆ ˆ

состояния гамильтониана H0 ) в конечное ( n -е собственное состояние гамильтониана H0 ) к

моменту времени t . Из формулы (10) следует, что вероятность перехода к моменту времени t определяется соотношением

Если в некоторый момент времени t1 возмущение обращается в нуль (или, как часто, хо-

тя и несколько жаргонно, говорят, «выключается»), то после этого система снова описывается волновой функцией вида (2), и, следовательно, в дальнейшем вероятность обнаружить ее в том или ином состоянии не зависит от времени. Поэтому при t t1

Соотношение (8.13) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является условие малости суммарной вероятности перехода во все состояния n k (или близкая к единице вероятность остаться в состоянии k ). Подчеркнем, что в результате действия зависящих от времени возмущений квантовые системы, вообще говоря, оказываются в состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке» это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем, подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными вероятностями получать различные значения.

Поскольку вероятность перехода – мала, то вычислять вероятность того, что система останется в начальном состоянии как:

нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (14) слагаемые квадратичны по возмущению и при возведении (14) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по возмущению как и вероятность перехода (13) Поэтому вероятность того, что система останется в исходном состоянии, следует вычислять из условия нормировки вероятностей всех возможных

44

переходов, то есть как

На следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

45

45

45