Лекции_Муравьёв

отношение имеет смысл отношения вероятностей обнаружить эти значения в результате измерений.

Из этого рассуждения очевидно также, что определенная с помощью волновой функции

имеет смысл не потока вероятности, а с точностью до знака определяет число частиц, прошедших в рассматриваемом состоянии за единицу времени через точку с координатой x в момент времени t . Знак величины J (1) определяет направление движения частиц в потоке: знак «+» – в положительном направлении оси x , знак «-» - в отрицательном. В трехмерном случае величи-

на J определяет плотность потока частиц в каждой точке в любой момент времени. В качестве примера рассмотрим несколько состояний свободных частиц:

1 (x,t) ei(kx %t )

2 (x,t) ei( kx %t )

3 (x,t) cos kx e i %t

4 (x,t) 1 eikx 1 e ikx e i %t

2 3

Вычислим плотность потока в этих состояниях ( k 2m / h 0 , % / h ) и обсудим физиче-

ский смысл данных волновых функций?

Перечисленные волновые функции описывают стационарные состояния свободной частицы, поскольку все они являются собственными функция оператора Гамильтона свободной частицы, отвечающие тому собственному значению , которое входит во временную экспоненту. Поэтому в этих состояниях никакие наблюдаемые величины (и, в частности, отношение вероятностей обнаружить частицу в той или иной точке пространства) не зависят от времени. Таким образом, все данные волновые функции описывают стационарный поток свободных частиц с определенной энергией.

Первая и вторая волновые функции являются также собственными функциями оператора импульса, отвечающими собственным значениям p1 hk 2m и p2 hk p1 , то есть опи-

сывают состояния с определенным импульсом p1 и p2 соответственно. Это значит, что при из-

мерениях импульса частицы в первом состоянии будет получено единственное значение p1 , во втором - p2 . Поэтому первая волновая функция описывает стационарный поток свободных ча-

7

стиц с определенной энергией, движущихся в положительном направлении оси x , вторая - в отрицательном, то есть описывают физические ситуации, когда источники частиц с определенной энергией находятся на и соответственно. Вычисляя поток для первой и второй функции, найдем, что

J1,2 (x,t) 2hmi 1,2 1,2* 1,2* 1,2 hmk

то есть через каждую точку в единицу времени в этих состояниях проходят hk / m частиц (в положительном направлении оси x в первом состоянии, и в отрицательном - во втором).

Третья и четвертая волновые функции не являются собственными функциями оператора

импульса, а представляют собой суперпозицию состояний с импульсами p1 hk 2m и p2 hk p1 , то есть описывают стационарные потоки свободных частиц с определенной энергией, создаваемые сразу двумя источниками, находящимися на и . Поскольку для волновой функции 3 указанная суперпозиция имеет вид

cos kx 12 eikx e ikx

то в этом состоянии потоки источников, находящихся на и , соответственно равны hk / 4m и hk / 4m . Для состояния 4 потоки этих источников равны hk / 9m и hk / 4m .

Эти утверждения подтверждаются и непосредственным вычислением потока для функ-

ций 3 и 4 : J3 0 и J4 5hk / 36m .

Знание плотности потока частиц в том или ином состоянии позволяет находить такие величины, как коэффициенты отражения и прохождения частиц через потенциальные барьеры. Рассмотрим такой барьер, что:

( k = 2mE / h2 ) находим асимптотику решений при x :

8

это решение представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлении оси x соответственно. Если рассматривать падение частиц на барьер из , то при x частиц, распространяющихся в отрицательном направлении оси x , не будет. Поэтому при такой постановке (частицы падают на барьер слева) второе слагаемое (3) нужно отбросить. Поэтому берем D 0 .

при x :

первое слагаемое в этом решении - это падающая на барьер волна, бегущая направо; второе слагаемое - это отраженная волна, бегущая налево.

Все три коэффициента A , B , C однозначно связаны, поэтому существует некоторый произвол в выборе одного из них (так как всего произвольных постоянных в решении уравнения

Введём некоторые величины, которые характеризуют процесс прохождения барьеров и которые называются коэффициентами прохождения и отражения частицы от барьера. Коэффициент прохождения D :

D = Jпрош.

Jпад.

В нашем случае:

| C |2 D = | A |2

Коэффициент отражения R :

9

R = Jотр.

Jпад.

В нашем случае:

| B |2 R = | A |2

Эти величины однозначно определяются волновой функцией (3), (4), даже при том, что сама волновая функция определена с точностью до произвольного множителя A (он сокращается в этих формулах).

член с производной по времени уходит ввиду независимости полной вероятности от времени, поэтому:

откуда и следует утверждение (6).

Из проведенного рассмотрения ясно, как находить коэффициенты отражения и прохождения. Для этого надо решить уравнение Шредингера с граничными условием (3), (4). Из этого решения найти коэффициенты A, B, C, из них – коэффициенты отражения от барьера и прохождения через барьер.

10

В качестве примера давайте найдем для ряда решений уравнения Шредингера коэффициенты отражения и прохождения. Итак, пусть имеются решения уравнения Шредингера со сле-

Каков физический смысл этих решений? Используя приведенные асимптотические выражения для решений найти коэффициенты прохождения и отражения частиц от потенциала.

Функция 1 описывает падение частиц на потенциал слева. Используя определения ко-

эффициентов отражения и прохождения, находим

Отметим, что R D 1.

Функция 2 не может являться асимптотическим представлением никакого решения уравнения Шредингера, поскольку поток при x ( J hk /16m ) не равен потоку при x ( J 3hk / 4m ), а поток не должен зависеть от координат.

Для состояния c волновой функцией 3 коэффициенты прохождения и отражения могут быть найдены из следующих соображений. Поскольку в области x отсутствует волна, распространяющаяся в направлении , то поток частиц, падающих на потенциал слева и отраженных от него, и поток частиц, падающих на потенциал справа и прошедших его, должны равняться друг другу (только в этом случае их интерференция может привести к исчезновению потока). Но поток частиц, падающих на потенциал слева есть J hk / 4m . Поэтому от потенциала отразятся Rhk / 4m частиц. Аналогично область действия потенциала пройдут Dhk /16m частиц из потока, падающего на потенциал справа. Поэтому коэффициенты отражения и прохождения удовлетворяют системе уравнений

R D 1

R D

4 16

Решая эту систему, найдем R 1/ 5 , T 4 / 5 .

11

Лекция 13 Момент импульса: операторы, коммутационные соотношения, решение уравнений на собственные значения

Явные выражения для этих операторов можно найти, вычислив проекции векторного произведения (1)

Наряду с операторами проекций момента импульса (2) можно определить и оператор квадрата

(r ) (r ).

Разложим полученную волновую функцию по малому параметру r :

12

Из (6) и следует сделанное выше утверждение.

Для анализа свойств момента импульса в квантовой механике, необходимо решить урав-

свойств этих уравнений можно выяснить, не решая уравнения, а используя только коммутационные соотношения между операторами. Такой способ оказывается единственно возможным при описания спинового момента импульса, операторы которого не выражаются соотношениями (2), но коммутационные соотношения между которыми такие же, как для операторов орби-

Таким образом, оператор квадрата момента импульса частицы коммутирует с оператором проекции момента на любую ось.

Полученные коммутационные соотношения позволяют сделать ряд выводов о собственных функциях и собственных значениях операторов момента. Во-первых, поскольку операторы проекций не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных состояний, в которых проекции одновременно имели бы определенные значения. Коммутация оператора квад-

ˆ2

ственные значения оператора L вырождены, поскольку в отсутствие вырождения факт коммутации операторов проекции с оператором момента приводил бы к существованию общих собственных функций у операторов проекций, а их быть не должно согласно (7). (Строго говоря, общие собственные функции у операторов проекций момента есть – это любые функции, зависящие только от модуля радиус-вектора. Однако эти функции не образуют полной системы в пространстве функций трех переменных).

Найдем решения уравнений на собственные значения и собственные функции операторов момента импульса частицы. Сначала для оператора проекции момента на одну из координатных осей (обычно это делают на примере оси z , поскольку решение соответствующего

13

уравнения в сферических координатах оказывается более простым). В сферических координатах

ˆ

уравнение на собственные значения и собственные функции оператора Lz имеет вид

Таким образом, функция (12) есть решение уравнения (11) для любого фиксированного числа lz

(в том числе и комплексного). Потребуем, чтобы функция ( ) удовлетворяла физическому условию периодичности по азимутальному углу :

(которые можно отметить индексом соответствующего собственного значения m ). Оче-

видно, собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны

Отметим, что нормировочный коэффициент не зависит от m .

14

Поскольку оператор квадрата момента коммутирует с оператором любой проекции, бу-

ˆ2 ˆ

дем искать общие собственные функции операторов L и Lz

где lz и l2 - соответствующие собственные значения. Уравнение (18) имеет «хорошие» решения f (r, )exp(im ) для любых целых чисел m при произвольной функции f (r, ) . Поэтому для

поиска совместных решений уравнений (18), (19) нужно подобрать функцию f (r, ) так, чтобы

Поскольку в уравнении (20) ни один из операторов не действует не переменную r , его решение можно искать в виде f (r, ) R(r) ( ) , причем функция R(r) не определяется из уравнения и может быть любой, тождественно не равной нулю функцией модуля радиуса-вектора. Для неизвестной функции ( ) полярного угла из (20) получается уравнение

входит в уравнение для функции ( ) , которая, следовательно, может быть отмечена индексом

m : ( ) m ( ) . Таким образом, для нахождения всех функций ( ) необходимо решить уравнение (21) для всех возможных значений m (любые целые). Однако, поскольку в уравнение

(21) входит m2 , уравнения для m и m - одинаковы, и, следовательно, m ( ) m ( ) .

Рассмотрим сначала уравнение (21) для m 0 . Введем новую переменную x cos , ко-

торая изменяется в интервале 1 x 1. Очевидно sin d dx , sin2 1 x2 . В результате из

n 0

15

Подставляя ряд (23) в уравнение (22), получим

(В первом и втором рядах суммирование, фактически, производится от n 2 , так как первые два слагаемых равны нулю. В первом ряду нам удобнее написать начало суммирования от n 2 ; во втором ряду начало суммирования мы оставили, таким же как и в предыдущих формулах). Меняя в первой сумме индекс суммирования n k 2 , получим

Таким образом, для коэффициентов ряда (23) справедливо рекуррентное соотношение (26), свя-

зывающее отдельно четные и нечетные коэффициенты ряда. Два первых коэффициента C0 и C1

остаются свободными (как произвольные постоянные в общем решении дифференциального уравнения второго порядка (22)). Для больших значений индекса n рекуррентное соотношение

(26) (независимо от собственного значения l%2 ) имеет вид:

(27)

то есть определяет геометрическую прогрессию, которая расходится при x 1. Однако при некоторых значениях l%2 ограниченные решения уравнения (22) все-таки существуют. Действи-

тельно, как следует из (26), если l%2 j( j 1) , где j - целое неотрицательное число, ряд (23)

«оборвется» на j -ом слагаемом, поскольку коэффициент Cj 2 (и все последующие коэффици-

енты той же четности) будет равен нулю. В этом случае ряд сводится к многочлену и, следовательно, будет являться конечной функцией при всех значениях x . При этом, поскольку для каждого такого значения l2 , будет обрываться только ряд по четным или только по нечетным степеням x (в зависимости от четности числа j ), а ряд по нечетным или четным степеням x

обрываться не будет, начальный коэффициент C1 или C0 , определяющий расходящийся ряд,

следует выбрать равным нулю. Таким образом, при l2 h2 j( j 1) , где j - целое число, суще-

ствуют конечные решения уравнения (22), которые являются либо четными, либо нечетными

16