Лекции_Муравьёв

( p)2 ( x)2 h2

т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до сколь угодно малых величин.

Для доказательства рассмотрим произвольное состояние (x) . Пусть в этом состоянии: x = 0 и p = 0 (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда:

Очевидно, что I ( ) 0 , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении сводится просто к умножению на значение координаты x, получим:

Полученное выражение как функция переменной , представляет собой параболу с ветвя-

ми, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых необходимо, что-

бы D 0 . Получим:

Или

x2 p2 h2

Поскольку x = 0 и p = 0 , то:

21

( p)2 ( x)2 h2

Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Замечание:

1. Если бы операторы xˆ и pˆ коммутировали, то мы не смогли бы получить этого соотно-

шения.

2.Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей:

1i p0 x ( x x0 )2

(x) = 2 e h 2 2

Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем:

22

Лекция 5 Временное уравнение Шредингера. Общее решение уравнения Шредингера в случае ста-

ционарного гамильтониана. Стационарные состояния. Плотность потока вероятности

Как следует из постулатов квантовой механики, волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

ˆ

где H - оператор энергии, который называют также оператором Гамильтона или гамильтониа-

ˆ

ном. Как следует из (1) оператор H является генератором трансляции квантовой системы по времени:

Наличие i в выражении уравнении (1) обеспечивает эрмитовость гамильтониана.

Рассмотрим основные свойства уравнения (1). Докажем следующее утверждение. Если функция удовлетворяет уравнению (1) и нормирована на единицу в начальный момент времени, то она будет нормирована на единицу и в любой другой момент времени (об этом свойстве уравнения Шредингера говорят, что оно сохраняет нормировку волновой функции). Для доказательства умножим уравнение (1) скалярно на функцию один раз слева, другой раз -

(знак «-» в (4) появился из-за антилинейности скалярного произведения относительно первого сомножителя). Вычитая формулу (4) из формулы (3) и учитывая, что

что и означает сохранение нормировки волновой функции.

23

Уравнение (1) допускает решение в случае, когда гамильтониан квантовой системы не зависит явно от времени. Будем искать решение временного уравнения Шредингера в виде функции с разделенными переменными (q,t) f (q)g(t) . Подставляя эту функцию в уравне-

ние Шредингера (1) и учитывая, что оператор Гамильтона действует только на функции коор-

гда и правая и левая часть уравнения (8) равны некоторой постоянной. Обозначим эту постоян-

значение, является решением уравнения (1). Так как уравнение (1) - линейное, то любая линейная комбинация функций вида (12) с произвольными коэффициентами

n

24

также является решением временного уравнения Шредингера (1). А поскольку система соб-

ственных функций оператора Гамильтона fn (q) является полной в пространстве функций пе-

ременной q , то функция (14) в момент времени t 0 при определенном выборе коэффициентов

Cn может воспроизвести любую функцию (q,t 0) . Это значит, что функция (14) дает реше-

ние уравнения Шредингера для любого начального условия (q,t 0) , то есть является общим решением временного уравнения Шредингера (в случае когда гамильтониан не зависит явно от времени).

Среди всех решений (14) уравнения Шредингера (1) выделяются функции, которые представляют собой одно слагаемое выражения (14)

Эти функции замечательны тем, что несмотря на то, что они зависят от времени, никакие вероятности, определяемые функцией (15), не зависят от времени. Действительно, вероятности определяются билинейной комбинацией * , из которой «уходит» время. По этой причине состояния, которые описываются волновыми функциями вида (15), называются стационарными. Если же решение (14) содержит несколько слагаемых, то вероятности различных физических величин и их средние значения, как правило, зависят от времени. Тем не менее, для ряда величин вероятности и средние не зависят от времени даже в нестационарных состояниях. Например, среднее значение энергии в любом состоянии системы, гамильтониан которой не зависит от времени, не зависит от времени. Действительно, используя квантовомеханическую формулу для средних имеем

Поскольку функции fn (q) ортогональны, в сумме остаются только диагональные слагаемые, из которых «уходит» время. Отсюда и следует сделанное выше утверждение (подробнее о величинах, средние значения которых не зависят от времени в любых состояниях и которые называются интегралами движения см. следующую лекцию).

25

Отметим еще одно важное обстоятельство, связанное со стационарными состояниями. Поскольку общее решение (14) представляет собой разложение по собственным функциям оператора Гамильтона, то согласно постулатам квантовой механики величины

представляют собой вероятности различных значений энергии. Поэтому при измерении энергии системы в стационарном состоянии можно обнаружить единственное значение, и, следовательно, энергия в стационарном состоянии всегда имеет определенное значение.

Рассмотрим одну частицу, движущуюся в трехмерном пространстве. Поскольку нормировка волновой функции (r,t) не зависит от времени, то уменьшение или увеличение вероят-

ности обнаружить частицу в некотором объеме сопровождается соответственно увеличением или уменьшением вероятности обнаружить частицу в остальной части пространства. Поэтому для плотности вероятности различных значений координат (r,t) | (r,t) |2 справедлив закон сохранения

r

где вектор J (r,t) имеет смысл плотности потока вероятности. Используя уравнение Шрединге-

r

ра можно найти J (r,t) .

Для этого умножим уравнение (1) на * (r,t) , комплексно сопряженное уравнение - на

(r,t) , вычтем второе уравнение из первого и проинтегрируем по некоторому объему V . По-

26

где интегрирование в правой части проводится по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Поскольку равенство (21) справедливо для любого объема V , для подынтегральной функции в (21) справедливо равенство

r

Чтобы понять смысл функции J (r,t) вернемся к выражению (21). В левой части имеем измене-

ние вероятности обнаружить частицу в этом объеме, в правой – интеграл по поверхности объема

r

от J (r,t) . Или, другими словами, изменение вероятности обнаружить частицу в некотором объ-

r

еме определяется потоком вектора J (r,t) через поверхность, ограничивающую этот объем. По

r

этой причине вектор J (r,t) имеет смысл плотности потока вероятности.

r

Анализ векторной функции J (r,t) (23) позволяет отвечать на вопрос о движении частиц.

Действительно, поскольку результаты измерений в микромире являются неопределенными, то можно говорить лишь о движении частицы в среднем, которое определяется увеличением или уменьшением вероятности обнаружить частицу в тех или иных объемах. А это изменение и

r

определяется вектором плотности потока вероятности J (r,t) .

27

27

27

Лекция 6 Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии. Сохранение четности

Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредин-

гера

Поскольку это уравнение является уравнением первого порядка по времени, для однозначного нахождения решения необходимо задать волновую функцию системы в начальный момент вре-

мени (q,t 0).

Как было показано на предыдущей лекции, в случае, когда гамильтониан не зависит явно от времени, общее решение уравнения (1) может быть найдено в квадратурах

n

где fn (q) - собственные функции оператора Гамильтона, En - соответствующие собственные значения, Cn - произвольные постоянные. Таким образом, для нахождения всех возможных ре-

шений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения уравнения на соб-

По этой причине уравнение (3) играет для квантовой механики столь же фундаментальное значение, что и уравнение Шредингера, и потому (?) также называется уравнением Шредингера. Чтобы не путать эти два (совершенно разных) уравнения первое принято называть временным уравнением Шредингера, второе – стационарным уравнением Шредингера.

Чтобы исследовать зависимость средних от времени найдем оператор производной физи-

28

Далее воспользуемся квантовомеханической формулой для средних и временным уравнением Шредингера. В результате получим следующее.

В правой части формулы (4):

Сравнивая (5), (6) и учитывая, что равенство (4) должно быть справедливо в состоянии с произвольной волновой функцией (q,t) , заключаем:

Из формулы (7) следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение данной физической величины не зависит от времени в любом состоянии, поскольку производная от среднего значения равна нулю.

Здесь можно провести определенную аналогию с классической механикой. В классической механике для производной функции f (q, p,t) динамических переменных – координат и им-

пульсов – по времени справедливо соотношение:

dfdt = ft {Hf }

где H (q, p) - функция Гамильтона, {Hf } - скобка Пуассона функции Гамильтона H (q, p) и

функции f (q, p,t) . Из этой формулы следует, что при переходе от квантовой механики к клас-

сической коммутатор операторов переходит в их классическую скобку Пуассона

ˆ ˆ h

i Hf {Hf }

В квантовой механике интегралами движения называют такие физические величины, средние значения которых в любых состояниях не зависят от времени. Из формулы (4) следует, что для того чтобы физическая величина была интегралом движения оператор этой величины не

29

должен не зависеть явно от времени и должен коммутировать с оператором Гамильтона.

Поскольку факт коммутации ряда операторов физических величин с оператором Гамильтона следует из свойств симметрии пространства-времени, поэтому в квантовой механике (так же, как и в классической механике) существование ряда интегралов движения связано с симметриями пространства-времени.

Однородность времени и закон сохранения энергии.

Опыт показывает, что в инерциальных системах отсчета время однородно, т.е. законы движения не зависят от выбора начала отсчета времени. А это значит, что время явно в законы движения не входит. Из однородности времени следует, что гамильтониан не зависит явно от времени. А так как гамильтониан сам с собой коммутирует, то энергия является интегралом движения. (Отметим, что этот результат в точности согласуется с классическим: энергия классической механической системы сохраняется, если ее функция Гамильтона не зависит от времени).

Однородность пространства и закон сохранения импульса.

Как показывает опыт, пространство в инерциальных системах отсчета однородно (все точки эквивалентны). Значит, законы движения инвариантны относительно преобразований параллельного переноса. Любой конечный перенос является композицией бесконечно малых переносов, поэтому рассмотрим бесконечно малую трансляцию:

и, следовательно, суммарный импульс системы есть интеграл движения.

Закон сохранения четности.

Назовем преобразованием инверсии (или четности) оператор, который следующим образом действует на произвольную функцию:

30