Лекции_Муравьёв

Лекция 3 Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные

функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Найдем оператор координаты q в q -представлении, то есть найдем, как действует этот

А поскольку волновая функция (q) - произвольна, сравнение (1) и (2) дает qˆ (q) = q (q) -

это действие оператора qˆ . Найдем собственные функции этого оператора.

11

Аналогично доказывается, что оператор любой физической величины, которая является функцией координаты, например, потенциальной энергии U (q) есть умножение на эту функ-

ˆ

цию, то есть U (q) (q) = U (q) (q) .

Здесь мы нигде не использовали, что q - координата поэтому для любой физической величины f в f -представлении имеем fˆ ( f ) = f ( f ) .

Исследуем теперь преобразование волновой функции при параллельном переносе системы координат и установим оператор импульса.

r' = r r

(r ) - однозначная функция точки пространства.

(r') - волновая функция в другой системе отсчета.

(r ) - полностью описывает состояние системы. Тогда: (r') (r ) , если r' = r r .

Рассмотрим свойства оператора импульса.

12

pˆ x*

Первое слагаемое равно нулю, в противном случае нормировочный интеграл для функций и

плексными, была бы неограничена при x, y, z (а мы ищем только ограниченные волно-

Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют полную систему функций или базис в пространстве «хороших» функций координат. Волновую функцию любого состояния (r ) можно разложить по этому базису, причем это разложение в

13

интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса образуют непрерывный базис. Это разложение имеет вид

где a( p) - «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной пере-

менной p . Нетрудно видеть, что разложение (13) – это разложение в интеграл Фурье по гармо-

Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции a( p) представляет собой плотность вероятности обнаружения различных значений импульса

Сравнивая формулу (15) с определением волновой функции в координатном представлении заключаем, что функция a( p) также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероятно-

сти различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном представлении. С математической точки зрения формула (14) - это обращение преобразования Фурье (а функция a( p) – Фурье-образ функции (r )).

в импульсном представлении.

Основная идея этого нахождения заключается в сравнении «прямого» (13) и «обратного» (14) разложения волновой функции. Поскольку обе этих формулы должны представлять собой разложение волновой функции в координатном представлении по собственным функциям оператора импульса, и волновой функции в импульсном представлении по собственным функциям

r r

i pr

оператора координаты, заключаем, что функция e h как функция p есть собственная функция оператора координаты в импульсном представлении, поэтому:

rˆ

причем оператор r здесь действует на импульс. Отсюда получаем

14

Операторы координаты и импульса не коммутируют. Это видно из следующей цепочки формул

xpˆx (x) x( ih) dxd (x) ihx (x)

pˆx x (x) ( ih) dxd x (x) ih (x) ihx (x)

Поэтому xpˆx (x) pˆx x (x) , и, следовательно, операторы не коммутируют. По этой причине операторы координаты и импульса не имеют общих собственных функций (это, впрочем, видно и из явных выражений для собственных функций этих операторов).

Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой функцией (x) , так и «коэффициентами» разложения a( p) функции (x) по собственным функциям оператора импульса p (x) , причем согласно постулатам квантовой механики функ-

ция a( p) определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функ-

цией в импульсном представлении. Свойства функций (x) и a( p) похожи. Благодаря линей-

ной связи, для функций a( p) справедлив принцип суперпозиции: если возможны состояния, ко-

торые описываются (в указанном выше смысле вероятностей импульсов) функциями a1 ( p) или a2 ( p) , то возможно и состояние, в котором вероятности различных значений импульса опреде-

ляются линейной комбинацией C1a1 ( p) C2a2 ( p) . Можно определить операторы физических величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же величины в разных представлениях имеют одни и те же собственные значения, а собственные функции любых операторов в разных представлениях связаны, как и любые другие функции.

Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической задачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем последнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного

иимпульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении

иимпульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из классической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.

Взаключение отметим, что можно построить и волновые функции состояний физических

15

систем и операторы физических величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций являются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении аргумента определяют вероятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в представлении величин, обладающих дискретным спектром собственных значений, должны быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю). Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.

16

Лекция 4 Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Од-

новременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

ˆ ˆ

Рассмотрим некоторый линейный оператор A : A . Выберем в рассматриваемом ли-

нейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу этого

ˆ

пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору A соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента по ко-

ординатам элемента , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из чисел на

где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило матричного умножения («строка на столбец»):

Числа aij , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента , состав-

ˆ

ляют матрицу оператора A . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам, действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы.

Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение

базисные элементы. Действительно, пусть ei - ортонормированный базис. Разложим элементы

17

где i и i - координаты элементов и . Умножим скалярно равенство (4) на ek и, поль-

зуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения, полу-

Из формулы (6) можно получить ряд следствий.

1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является диагональной

причем на диагонали размещаются собственные значения оператора ai .

2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по отношению к другу:

gˆ gmn gˆ (g )mn = gnm* (8)

3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается та же матрица

4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно.

где Sik - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять сумми-

рование по первому индексу матрицы Sik - так, как это сделано в (10)). Матрицу Sik принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из ортонормированности обоих базисов имеем

Но так как Ski* S ik , из (11) имеем

18

ных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также инвариантным явля-

ˆ

F

19

где буквой g обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция f яв-

ˆ

ляется собственной и для оператора G .

этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно построить

ˆ

такие линейные комбинации собственных функций оператора F , которые будут также и соб-

ˆ

ственными для оператора G . Теорема доказана.

Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним из основопола-

докажем, что

20