Лекции_Муравьёв

Лекция 30 Теория нестационарных возмущений. Примеры

Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с мо-

вом порядке нестационарной теории возмущений найдем вероятности переходов осциллятора в возбужденные состояния при t (поскольку при t возмущение стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии осциллятора).

В первом порядке теории возмущений вероятность перехода из основного состояния в n - ое определяется выражением (13) из предыдущей лекции

где i (x) - волновые функции стационарных состояний осциллятора. Интеграл в формуле (2) с

осцилляторными функциями был вычислен ранее. Он отличен от нуля только для состояния n 1 и равен

Поэтому в первом порядке теории возмущений отлична от нуля только вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние. Подставляя (2), (3) в формулу для вероятности перехода (1), получим

где 01 ( 1 0 ) / h - частота перехода из основного в первое возбужденное состояние осцилля-

тора, равная осцилляторной частоте , так как энергии стационарных состояний осциллятора

46

определяются соотношением n h (n 1/ 2) . Вычисляя интеграл по времени (после выделения полного квадрата в показателе степени экспоненты он сводится к интегралу Пуассона), получим

Исследуем теперь зависимость вероятности перехода (5) от времени включениявыключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях параметра , который и определяет характерное время действия рассматриваемого возмущения. При этом будем считать, что const , то есть «суммарная величина» возмущения не изменяется.

При = 1 (в этом случае характерное время включения-выключения возмущения меньше периода колебаний осциллятора, то есть возмущение можно назвать «мгновенным», «внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется соотношением

При этом вероятность перехода не зависит от параметра при неизменной «величине» возмущения.

Если ? 1 (адиабатическое, «медленное», «плавное» включение-выключение возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении параметра .

Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей, теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.

Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю.. Рассмотрим еще один пример.

На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a , распо-

47

f (t) - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния возможны переходы из основного состояния. Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений?

Волновые функции состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном определяются соотношением

n 1,2,3,... , a - размер ямы. Исследуем матричные элементы оператора возмущения между

функцией основного и некоторого n -го состояния. Если он равен нулю, переход из основного состояния в n -ое запрещен. Имеем

Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и n -го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана частицы: n -ой и пятой и n -ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в случае, когда n 5 и n 3. Другими словами в бесконечно глубокой яме из основного состоя-

состояния только в четвертое возбужденное ( n 5) и второе возбужденное ( n 3) стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.

Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории возмущений для волновой функции. В следующих порядках он будет нарушаться. А это значит, что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния, однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная энергия

48

частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния частицы. А поскольку волновая функция частицы – четна в начальный момент времени, то она будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми функциями, которые отвечают квантовым числам n 3, n 5, n 7 , n 9 и т.д. Переходы в другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть «правилами отбора».

Ответим еще на один вопрос, связанный с вероятностями переходов. Пусть на некоторую квантовую систему, находящуюся в n -ом стационарном состоянии независящего от времени

ˆ ˆ

гамильтониана, накладывают малое, зависящее от времени возмущение V (x,t) V (x) f (t) . В со-

стояния с какими энергиями k переходы системы будут более вероятными, если матричные

который и определяет вероятность перехода wn k . Для оценки интеграла заметим, что в нем мо-

гут быть два разных временных масштаба: во-первых, это характерное время изменения возму-

щения Vnk (t) (обозначим его TV ), а во-вторых, характерное время изменения экспоненты Tnk ,

Если выполнено неравенство TV = Tnk (такие возмущения называют внезапными), вре-

менная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний.

Если выполнено обратное неравенство TV ? Tnk (такие возмущения называют адиабати-

ческими, медленными), временная экспонента в области интегрирования многократно осциллирует, и интеграл по времени становится малым.

49

Таким образом, переходы с заметными вероятностями происходят только в те состояния, для энергий которых выполнено неравенство

| k n | Th

V

где TV - характерное время изменения возмущения.

50

50

50

Лекция 31 Адиабатические и внезапные возмущения. Переходы под действием внезапных возмущений

Исследуем общую формулу для вероятностей переходов на предмет зависимости вероятности перехода

от времени действия возмущения (некоторые элементы такого анализа для конкретного примера уже были продемонстрированы в конце предыдущей лекции). В формуле (1), которая представ-

ляет собой первый порядок теории нестационарных возмущений, величины Vkn (t) есть матрич-

ные элементы оператора возмущения в базисе собственных функций стационарного гамильтониана i (x)

величины kn представляют собой частоту квантового перехода между стационарными состоя-

ниями k и n :

Фактор ei knt определяется собственными энергиями или собственными частотами иссле-

ˆ

дуемой квантовой системы, а возмущение V (t) связано с внешним воздействием на систему.

Поэтому зависимости этих величин от времени, вообще говоря, могут быть абсолютно разными

ˆ

по характерным масштабам времени изменения. Пусть V (t) (и, следовательно, Vkn ) имеет харак-

терный масштаб изменения, равный . Характерный масштаб изменения экспоненты ei knt ра-

(такие возмущения принято называть адиабатическими). Очевидно, вероятности квантовых пе-

1

реходов в этом случае будут малы. Это связано с тем, что при плавной функции Vkn (t) под инте-

гралом в формуле (1) комплексная экспонента ei knt успевает много-много раз проосциллировать, дав одинаковые по модулю, но положительные и отрицательные вклады в интеграл (1), который в этом случае будет мал. Поэтому в случае адиабатических возмущений переходы практически не происходят. Тем не менее, если исходное состояние вырождено с каким-то другим стационарным состоянием гамильтониана, то система может перейти в такое состояние и под действием адиабатических возмущений.

Таким образом, из формулы для вероятностей переходов следует, что вероятности переходов с очень большими изменениями энергии подавлены и происходят только в те состояния, для энергий которых выполнено неравенство

Другими словами, разность энергии стационарных состояний, между которыми возможен пере-

ход, не должна превышать величины h . 2. Внезапные возмущения.

= 1 (6)

kn

Вэтом случае функция ei knt не успевает измениться в той характерной области, в которой «набирается» интеграл. Поэтому эта функция является, фактически, множителем и может быть вынесена из под интеграла. Его модуль равен единице, поэтому формула для вероятности перехода в этом случае дает

Обратим внимание на то, что в случае внезапных возмущений вероятность переходя не зависит от разности энергий состояний.

Еще один случай, когда возможно простое решение нестационарной задачи (кроме случая малых возмущений) – это случай внезапно включающихся возмущений, то есть возмущений, которые включаются за очень короткое время и далее от времени не зависят. Пусть до момента времени t 0 квантовая система описывалась независящим от времени гамильтонианом

ˆ

H0 и находилась в k -ом стационарном состоянии k (x) этого гамильтониана, то есть до этого

2

момента времени волновая функция системы определялась одним слагаемым общего решения временного уравнения Шредингера

лое), которое само от времени не зависит. Таким образом, после включения возмущения волно-

и, следовательно, определяют вероятность перехода из k -го собственного состояния гамильто-

ся мгновенно, то за время включения волновая функция системы не успевает измениться (это связано с тем, что временное уравнение Шредингера – уравнение первого порядка по времени),

и, следовательно, функция (x,t 0) k (x) является начальным условием для решения (10).

Поэтому в момент времени t 0 справедливо равенство для волновой функции квантовой системы

Умножая правую и левую часть равенство (12) на функцию m* (x) , интегрируя и пользуясь ор-

тонормированностью функций (x) , найдем вероятности переходов при мгновенном включе-

нии возмущения

3

Из этого соотношения следует, что вероятность перехода под действием внезапных возмущений определяется интегралами перекрытия собственных функций возмущенного и невозмущенного гамильтонианов. Подчеркнем, что соотношение (13) позволяет находить вероятность перехода

ˆ

из стационарного состояния одного гамильтониана ( H0 , который описывает квантовую систему

ˆ ˆ

до включения возмущения) в стационарные состояния другого - H0 V , который описывает квантовую систему после включения возмущения. Отметим также, что в отличие от формул не-

пользовалась малость возмущения (использовалась только мгновенность его включения), вероятности переходов, вычисленные согласно формуле (13) могут быть сравнимыми с единицей.

Рассмотрим пример применения формулы (13).

Ядро атома трития 3 H , находившегося в основном состоянии испытывает 3 H -распад, в результате которого один из нейтронов, входящих в состав ядра, превращается в протон, электрон и электронное антинейтрино. Две последние частицы вылетают из ядра. Поэтому в результате -распада количество протонов в ядре увеличивается на единицу, а количество нейтронов уменьшается. Остаточным ядром является 3 He . Считая, что 3 H -распад происходит мгновенно и вылетевший электрон не взаимодействует с оставшимся атомным электроном, найти вероятность того, что последний будет находится на втором энергетическом уровне водородоподобно-

го иона 3 He .

При -распаде ядра его заряд увеличивается на единицу, что эквивалентно мгновенному

ˆ 2

включению возмущения V e / r . Так как по условию задачи распад происходит за бесконечно малое время, для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться формулой (13)

(14)

где в качестве 0 (r ) следует взять волновую функцию электрона в основном состоянии атома трития (заряд ядра которого равен e ), в качестве 1 (r ) , волновую функцию электрона, находя-

щегося на втором энергетическом уровне водородоподобного иона 3 He (заряд ядра 2e ). Второй энергетический уровень водородоподобного иона является четырехкратно вырожденным, по-

4

скольку ему отвечают одна волновая функция с моментом, равным нулю ( s -состояние), и три волновых функции p -состояний, отличающихся магнитным квантовым числом m .

Очевидно, вероятности перехода в p -состояния равны нулю, так как интеграл (14) для

таких переходов равен нулю из-за ортогональности сферических функций. Поэтому в условиях данной задачи возможен переход только в s -состояние. Вероятность перехода электрона с пер-

вого энергетического уровня атома трития на второй энергетический уровень иона 3 He определяется интегралом перекрытия волновой функции первого s-состояния в атоме трития и второго s-состояния в ионе 3 He . Эти волновые функции имеют вид:

В заключение отметим, что при вычислении вероятности перехода предполагалось, что вылетевший из ядра электрон не взаимодействует с атомным электроном, а действующее на него возмущение связано только с изменением заряда ядра. Это приближение является хорошим, если энергия вылетевшего из ядра электрона много больше энергии атомного электрона. Для рассмотренного процесса отношение этих энергий : 103 , поэтому использованное приближение достаточно хорошо работает.

5