Лекции_Муравьёв

Лекция 22 Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера,

сшивка квазиклассических решений

Число случаев, когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера, то есть найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, невелико. Поэтому при решении этого уравнения приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является квазиклассическое приближение. Основная идея этого метода заключается в следующем. Пусть есть одна частица, движущаяся в одномерном потенциале. Запишем одномерное уравнение для такой задачи в виде

Величина k2 (x) , имеющая размерность 1/дл2, при определенных значениях координат может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия частицы U (x) const (и, следовательно, k(x) const k , дифференциальное уравнение (2) легко реша-

ется. Его общее решение имеет вид

ляется «плавной» функцией координаты, решения уравнения (2) должны быть «похожи» на

6

если k2 (x) 0 . В формулах (5), (6) a - любое значение координаты, C1 и C2 - произвольные по-

стоянные.

Можно проверить, что малым параметром, определяющим точность решений (5), (6) является безразмерная величина

k (x)

k2 (x) (7)

которая называется параметром квазиклассичности. Решения (5), (6) работают при выполнении условия

E U (x) , что в классической механике соответствует доступной для движения частицы и за-

прещенной для движения области. Поэтому про функции (5), (6) часто говорят, что они являются приближенными решениями уравнения Шредингера в классически доступной или в классически запрещенной области.

Можно получить и поправки к решениям (5), (6) по параметру квазиклассичности. В частности, учет первой поправки приводит к следующим приближенным решениям уравнения

если k2 (x) 0 . Решения (9), (10), справедливые с точностью k / k2 2 , отличаются от решений

(5), (6) тем, что множитель перед экспонентой (или, как говорят в применении к квазиклассическим решениям, предэкспоненциальный множитель) является не постоянной величиной, а «плавной» функцией координаты (поскольку k(x) - плавная функция). Функции

(9)-(10) принято называть квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1).

Из формул (9), (10) следует, что в классически разрешенной области (то есть при тех значения координат, где E U (x) решение уравнения Шредингера представляет собой осцилли-

7

рующую функцию, в классически запрещенной области ( E U (x) ) - суперпозицию возрастаю-

щей и убывающей функций.

Функции (9), (10) являются хорошими приближениями для решений дифференциального уравнения (1) при любой фиксированной энергии E , если параметр квазиклассичности мал. Следует, однако, иметь в виду, что параметр квазиклассичности зависит от координаты, и потому возможны ситуации, когда при некоторых значениях координаты квазиклассические функции являются хорошими приближениями для истинных решений уравнения Шредингера, при некоторых - нет. В частности очевидно, что квазиклассика не работает в окрестности таких точек, где k(x) 0 , или E U (x) . Для классического движения эти точки являются точками оста-

новки. Поэтому решения уравнения (1) в классически запрещенной и классически доступной областях (границей между которыми и является точка остановки) нельзя «сшивать» в точке остановки, используя сами функции (9), (10). Другими словами, для согласованного выбора коэффициентов в функциях (9), (10), которые являются хорошими приближениями для истинных решений в разных областях квазиклассичности вдали от точек остановки, нельзя использовать квазиклассические функции (9), (10) в точках остановки. Существует два способа «сшивки» квазиклассических функций.

Первый способ. В окрестности точки поворота линеаризуем функцию U (x) .

Получили уравнение Эйри. Решение этого уравнения известно. Поэтому используя это решение можно «сшить» квазиклассические функции слева и справа от классической точки поворота.

Второй способ. Предположим, что U (x) - аналитическая функция действительного аргу-

мента x . Рассмотрим ее аналитическое продолжение в комплексную плоскость координаты. b - изолированный ноль функции (E U (x)) , причем пусть при x b E U (x) («правая» точка по-

ворота). Есть и другие нули, принадлежащие комплексной плоскости, но они тоже изолированные (лежат на конечных расстояниях). В области x > b (на достаточно больших расстояниях, там где работает квазиклассическое приближение):

8

Мы получали при обходах через разные полуплоскости разные решения только потому, что наше решение - асимптотически приближенное, а не точное. Проходя через верхнюю полуплоскость, мы получаем то решение, которое в ней является экспоненциально растущим, а вто-

9

рое - экспоненциально малое, - не замечаем на фоне главного. Для нижней полуплоскости - наоборот. Для «левой» точки поворота x a аналогичные рассуждения приводят к результатам:

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Мы рассмотрим их на следующей лекции.

10

Лекция 23 Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент

прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии E , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ( E U ( ) ).

отрицательна, при a(E) x b(E) - положительна. Поэтому квазиклассические решения урав-

нения Шредингера в этих областях имеют вид

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных

11

внутри ямы вдали от точки поворота a(E) являются приближениями одного и того же решения.

Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область x , будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция

внутри ямы вдали от точки поворота b(E) являются приближениями одного и того же решения.

Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область x , будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях x решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на n . Отсюда находим

Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии E , входящей в функцию k(t) в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки

остановки при данной энергии a(E) и b(E) , которые определяется из уравнения

Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.

Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество со-

«классическими» барьерами), то n в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому

Поскольку интеграл Ñp(x)dx определяет доступный системе фазовый объем, из формулы

(11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства,

12

занимаемого частицей при некоторой энергии E , и количества связанных состояний с энергией, меньшей E . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового про-

странства» объемом 2 h. В трехмерном случае - объемом 2 h 3 .

Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с но-

имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями : h (как это следует из (14)) и в малых участках : const ). Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.

Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией E падают на барьер слева и пусть классическими

13

Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция

при x b являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в области x b перейдет в функцию

Формально, при переходе к классике ( h = 0 ), получим D = 0 , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

Отсюда D = 1.

Используя формулу (22) можно оценить вероятность -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского

14

- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:

где введена скорость -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный - вероятность распада мала, так как

Подтверждением квазиклассической теории -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии -частиц. В теории эта зависимость

15