Лекции_Муравьёв

Лекция 1. Место квантовой механики в современной физической науке. Основные экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой механики

В современной науке квантовая механика занимает важнейшее место, поскольку формирует основные идеи современного подхода к описанию микромира и дает язык такого описания, который является единственно возможным для целого ряда разделов физики, химии, биологии.. Так, не существует неквантовой теории твердого тела, неквантовой теории ядра, неквантовой теории элементарных частиц и т.д. Квантовая химия, современная биофизика возникли только после создания квантовой механики. Поэтому курс квантовой механики занимает особое место среди различных разделов физики, входящих в программу обучения физиков, как теоретиков, так и экспериментаторов. А для студентов-физиков, работа которых будет связана с конденсированным состоянием вещества, ядерной физикой, физикой элементарных частиц, а также для специалистов в области ядерной энергетики этот курс представляет собой основное «орудие труда».

После этого небольшого вступления перечислим основные экспериментальные факты, которые противоречат классической физике, и интерпретация которых и привела к созданию квантовой механики. Эти экспериментальные факты можно назвать лежащими в основании квантовой механики.

1. Устойчивость атомов

Рассмотрим движение электрона в атоме водорода с классической точки зрения. Как известно из классической механики, полная энергия электрона на круговой орбите есть

= e2

2r

где r - радиус орбиты, e - элементарный заряд. Из классической электродинамики Максвелла следует, что движение заряженной частицы с ускорением приводит к излучению электромагнитных волн (это можно увидеть, например, из формулы для интенсивности дипольного излучения). А поскольку движение электрона по замкнутой траектории есть движение с ускорением, электрон должен излучать электромагнитные волны, то есть терять энергию на излучение. Радиус орбиты будет уменьшаться

r 0

Можно написать элементарные формулы, дающие оценку скорости потерь энергии электрона и времени «падения» его на ядро. Потеря энергии в единицу времени (с точностью до числового коэффициента) есть

1

польного излучения. m - приведенная масса протона и электрона, практически совпадающая с

Следовательно, электрон «упадет» на ядро, и атом перестанет существовать через проме-

жуток времени : 10 8 сек.

2. Спектр излучения атомов

Экспериментально наблюдаемый спектр излучения атомов состоит из дискретных линий, то есть атомы имеют дискретный спектр энергий, отвечающих состояниям финитного движения. Если бы электрон двигался так, как это описано в предыдущем пункте, спектр его излучения был бы непрерывным.

3. Опыты Франка и Герца

При неупругих столкновениях электронов с атомами энергия электронов меняется дискретными порциями.

4. Опыты Штерна и Герлаха

Магнитный момент и, следовательно, механический момент атома принимает дискретный значения. Таким образом, эти свойства атомов не описываются классической механикой и элек-

2

тродинамикой.

5. Дифракция электронов на кристаллах (Девисон, Джермер, Томсон).

Подобная дифракция рентгеновского излучения на кристаллической решётке (которая прекрасно наблюдается в современном эксперименте) свидетельствует о наличии у электрона волновых свойств и об отсутствии движения по траектории.

6. Дифракция квантовой частицы на двух щелях

Во времена знаменитых дискуссий Бора с Эйнштейном подобную схему называли «мысленным экспериментом». Сейчас такие дифракционные опыты делаются не только с электронами или нейтронами, но и с такими составными квантовыми объектами, как атомы или молекулы.

1.Наблюдается дифракционная картина с чередующимися максимумами и минимумами, аналогичная дифракции электромагнитной волны на экране со щелями.

2.Эта картина не сводится к наложению результатов, которые получаются, если поочередно закрывать каждую из щелей.

3.Пропуская частицы по одной, мы получаем от каждого атома только одну точку на

экране.

4.Атом попадает в какую-то точку, но мы заранее не знаем, в какую. Совокупность этих точек дает наблюдаемую дифракционную картину, то есть мы имеем дело с ансамблем измерений.

Выводы из опытов по дифракции.

1.С движением частицы связан волновой процесс. У квантовой частицы есть волновые свойства.

2.Это противоречит классической картине движения по траектории. Как может повлиять на движение частицы та щель, которая расположена «рядом» и через которую эта частица не пролетала?

3.От одной частицы получается не слабое подобие общей дифракционной картины, а только точка на экране. Следовательно, волновой процесс, связанный с движением квантовой частицы, не является классической волной.

4.Для каждой частицы можно указать только вероятность попадания в ту или иную точку экрана, то есть вероятность рассеяния на тот или иной угол.

3

Перечислим теперь ряд теоретических подходов, которые лежали в основе квантовой механики, или стали ее составными частями, и их авторов.

1900 г. - Макс Планк, квантование энергии, h (или h ) - постоянная Планка, имеющая размерность действия:

h = 2h = 1,055 10 27 эрг сек

Нобелевская премия 1918 г.

1905 г. - Альберт Эйнштейн, понятие кванта света - фотона, теория фотоэффекта, Нобелевская премия 1921 г.

1913 г. - Нильс Бор, квантование уровней энергии в атоме, Нобелевская премия 1922 г. 1923 - 24 г. - Луи де Бройль, корпускулярно-волновой дуализм де Бройля, Нобелевская

премия 1929 г.

1924 г.- Бор, Крамерс, Слэттер, понятие волны вероятности.

1924 - 25 г. - Вольфганг Паули, принцип запрета Пуаули, Нобелевская премия 1945 г. 1925,1927 г. - Вернер Гейзенберг, матричная формулировка квантовой механики, соотно-

шение неопределённостей, Нобелевская премия 1932 г.

1926 г. - Эрвин Шредингер, волновая функция и волновое уравнение Шредингера, Нобелевская премия (совместно в Полем Дираком) 1933 г.

1926 г. - Макс Борн, вероятностная интерпретация квантовой механики, Нобелевская премия 1954 г.

1927 г. - V Сольвеевский конгресс в Брюсселе, копенгагенская интерпретация.

Согласно современным представлениям, классическая механика перестает работать, когда характерный масштаб действия для системы сравним с постоянной Планка. Оценим действие для атомных масштабов.

период обращения электрона t : 10 16 сек Тогда

4

S : 10 27 эрг сек

то есть величина действия атомного масштаба порядка постоянной Планка. Это сугубо квантовая область. Классические законы работают, как правило, в области явлений, для которых характерные значения действия существенно больше постоянной Планка. Нерелятивистская квантовая механика - это «теория микромира», то есть явлений атомного масштаба. Из формулы (*) следует, что при увеличении размеров системы (при сохранении характерной скорости) действие растет, и система становится классической.

В заключение отметим, что квантовая механика работает и в ряде макроскопических явлений, таких, например, как ферромагнетизм, сверхпроводимость, конденсация Бозе - Эйнштейна и т.д.

5

Лекция 2 Принципы построения и постулаты квантовой механики. Операторы физических величин

Как следует из опытов по дифракции микрочастиц, в квантовой механике отсутствует понятие траектории, т.е. состояние квантовой частицы не описывается заданием координаты и импульса. Или, другими словами, состояние описывается меньшим, чем в классической механике, числом параметров. Это приводит к неоднозначности в результатах измерений, что означает следующее. Пусть мы имеем тождественные квантовые системы, находящиеся в одинаковых условиях, и одновременно одинаковым прибором измеряем одну и ту же физическую величину. Результаты таких измерений оказываются, вообще говоря, различными. Поэтому и предсказания теории могут носить только вероятностный характер. Квантовая механика, как физическая теория, должна правильно отвечать на правильно поставленный вопрос: уметь перечислять возможные значения результатов измерений и указывать вероятности этих значений. Вопрос же, скажем, о том чему равна такая-то величина в такой-то квантовой системе, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку на него «не может ответить природа» (нет экспериментального ответа, эксперимент дает разные, неопределенные результаты).

Тем не менее, и в микромире существуют ситуации, когда измерение с достоверностью приводит к некоторому фиксированному результату. В этом случае говорят, что в этом состоянии соответствующая физическая величина имеет определенное значение или является измеримой.

Описанная выше неопределенность результатов измерений физических величин, характерная для микромира, приводит к тому, что в теории приходится «разрывать» понятия «состояния» и «наблюдаемых», поскольку они в отличие от классической механики не тождественны друг другу. В теорию приходится вводить ненаблюдаемые величины, описывающие состояния квантовых систем (то есть то, какие они), и устанавливать рецепт, как по состоянию определять возможные значения и вероятности результатов измерений.

Остановимся теперь на утверждениях, которые можно назвать основными принципами или постулатами квантовой механики.

1. Рассмотрим систему частиц с n степенями свободы. Тогда координаты - это наблюда-

емые и измеримые сколь угодно точно физические величины. r1, r2 , ..., rn . Состояние системы описывается некоторой функцией координат (q) (r1, r2 , ..., rn ) , которая является комплекс-

ной функцией действительного аргумента и называется волновой функцией. При этом (q) по-

6

казывает, какова вероятность того, что при измерении координат будут получены значения координат в интервале от q до q dq :

такие ситуации имеют место в квантовой механике), то нормировка в обычном понимании не-

возможна, и интерпретировать (q) 2 как вероятность нельзя. В этом случае эта величина, про-

показывает относительную вероятность нахождения квантовой системы в интервале q1, q2 по сравнению с интервалом q3 , q4 .

2. Принцип суперпозиции. Если есть два состояния системы с волновыми функциями

1 (q), 2 (q) , то:

(4)

тоже волновая функция возможного состояния системы, где C1,C2 -произвольные (с точностью до нормировки) комплексные постоянные. Принцип суперпозиции говорит о том, что множество волновых функций всех возможных состояний квантовой системы образует линейное пространство (пространство состояний). Кроме того, из принципа суперпозиции следует, что уравнение для волновых функций возможных состояний квантовой системы должно быть линейным.

3. Каждой наблюдаемой физической величине A в квантовой механике ставится в соот-

ˆ

ветствие некоторый линейный эрмитов оператор A A (в квантовой механике принято обозначать операторы буквами со «шляпками»), который действует в пространстве состояний квантовой системы (то есть на функции координат системы и времени), причем наблюдаемыми в

7

эксперименте значениями этой физической величины могут быть только собственные значения an ее оператора. Другими словами, наблюдаемые значения физической величины определяются из уравнения:

ˆ

где n - собственная функция оператора A , отвечающая собственному значению an , индекс n

нумерует собственные значения и собственные функции. Отметим, что уравнение (5) должно решаться в пространстве состояний квантовой системы

4.Квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции квантовой системы

(q) по собственным функциям n (q) оператора некоторой наблюдаемой величины A опре-

деляют вероятности наблюдения в этой системе различных значений физической величины A , которыми, как это следует из предыдущего постулата, могут быть только собственные значения

ˆ

оператора A .

Смысл этого утверждения заключается в следующем. Как известно (это утверждение строго доказывается в линейной алгебре), собственные функции любого эрмитового оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любая функция и, в частности, волновая функция квантовой системы может быть разложена по собственным функциям оператора физической величины A , то есть может быть представлена в виде

где cn - коэффициенты разложения. Рассматриваемый постулат утверждает, что величина | c1 |2

(коэффициент при функции 1 в разложении) определяет вероятность того, что при измерении физической величины A в квантовой системе, описываемой волновой функцией (q) , будет

кая-либо собственная функция k не представлена в разложении (или, другими словами, пред-

ставлена с нулевым коэффициентом), то вероятность обнаружить при измерении наблюдаемой величины A в состоянии с волновой функцией (q) , что A ak , равна нулю ( ak - собственное

ˆ

значение оператора A , соответствующее собственной функции k ). Отметим, что совокупность величин {cn} имеет смысл, аналогичный смыслу волновой функции, но определяет не вероятно-

8

сти различных значений координат, а вероятности различных значений an величины A (волно-

ˆ

где H - оператор, отвечающий энергии этой системы (оператор Гамильтона или гамильтониан). 6. Динамическим переменным частицы соответствуют следующие операторы. Координате частицы x - оператор умножения на координату: xˆ (r ) x (r ) . Проекции импульса на ось

x - оператор pˆx ih / x , то есть pˆx (r ) ih (r ) / x . Из приведенных операторов можно

«сконструировать» операторы любых наблюдаемых физических величин, являющихся функциями координат и импульсов, и, в частности, оператор энергии, о котором говорится в постулате

5.

Рассмотрим простейшие математические и физические следствия постулатов.

(1) Поскольку собственные функции эрмитовых операторов, отвечающих различным собственным значениям, ортогональны, то коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям n представляют собой проекцию состояния на базисное, собствен-

ное состояние n . Действительно, умножая разложение (6) на n* , интегрируя и пользуясь ор-

тонормированностью базисных функций, получим

9

(5) Если волновая функция квантовой системы (q) совпадает с одной из собственных функций оператора некоторой физической величины, то при измерении этой физической величины в таком состоянии с достоверностью будет получено единственное значение. Это значит, что данная физическая величина имеет определенное значение в таком состоянии.

Все вышеприведенные утверждения буквально сформулированы для операторов, имеющих дискретный спектр собственных значений. Для операторов с непрерывным спектром собственных значений все, сказанное выше, остается в силе, с некоторыми дополнениями и изме-

функции по собственным функциям f (q) есть в этом случае не разложение не в ряд, а раз-

ложение в интеграл:

интеграл равен . Говорят, что волновые функции нормированы на -функцию. Условие полноты собственных функций оператора, имеющего непрерывный спектр собственных значений, имеет вид

10