Описание установки и метода измерений

Установка “Маятник наклонный ФМ 16” (рис. 4.3) включает основание 1, вертикальную стойку 2, верхний кронштейн 3 с панелью 4, маятник скольжения и маятник качения, которые устанавливаются на верхнем кронштейне 3 поочередно. Основание 3 снабжено тремя регулируемыми опорами 5 и зажимом 6 для фиксации вертикальной стойки 2. Для отклонения панели от вертикального положения на определенный угол по шкале 8 используется винт 7. Маятник скольжения представляет собой металлический стержень 9, снабженный призматической опорой 10 и обоймой 11, в которую устанавливаются сменные образцы усеченных шаров. Маятник качения представляет собой металлический шарик 12, подвешенный на капроновой нити 13.

Метод наклонного маятника состоит в том, что коэффициент трения определяется из условия колебаний маятника на наклонной плоскости, где возникает трение между колеблющимся телом и наклонной плоскостью.

Схематически наклонный маятник изображен на рис. 4.4, где А - колеблющееся тело, которое в процессе колебания движется по наклонной плоскости (пластине) В, составляющей угол  с горизонтальной плоскостью С. Так как на колеблющееся тело непрерывно действует сила трения, то колебания будут затухающими, то есть амплитуда колебаний будет уменьшаться.

Вывод расчетной формулы

Расчетную формулу для определения коэффициента трения качения можно вывести на основании закона сохранения энергии.

Пусть E - уменьшение энергии маятника после некоторого числа колебаний, обусловленное их затуханием. Энергия E расходуется на работу силы трения качения A и на деформацию нити A’. Но работа A’ очень мала и ею можно пренебречь. Тогда получаем

Найдем сначала E.

Энергия колеблющегося тела равна потенциальной энергии этого тела в крайнем положении. Вследствие затухания высота крайнего положения тела на наклонном маятнике по отношению к произвольно выбранному горизонтальному уровню будет уменьшаться с каждым колебанием. Таким образом, убыль энергии, возникающую вследствие затухания, можно выразить через убыль потенциальной энергии в крайних положениях.

Обозначим через П₀ потенциальную энергию маятника в начальном крайнем положении, а через П_п - его потенциальную энергию в конечном крайнем положении. Так как полная энергия маятника равна его потенциальной энергии в крайнем положении, то убыль энергии будет

где h - разность высот центра тяжести колеблющегося тела в начальном и конечном крайних положениях по отношению к произвольно выбранному горизонтальному уровню.

Как следует из рис. 4.4 а,

где l - длина маятника. Подставив выражение h из равенства (4.6) в (4.5), получим формулу изменения энергии

Найдем теперь A, то есть работу силы трения. Эта работа равна произведению силы трения F на путь S, представляющий собой сумму всех амплитуд, пройденных телом после n полных колебаний.

A= F_кач· S (4.8)

Следовательно, работа силы трения за одно полное колебание равна

A₁= F_кач· S₁, (4.9)

где S₁, как следует из рис 4.4 б, равен

где l - длина маятника; ₀, ´₀ и ₁ - углы его отклонения по окончании первого и второго полупериодов, выраженные в радианах. После каждого полупериода амплитуда убывает на одну и ту же величину φ, тогда, как видно из рис 4.4 б:

Таким образом, путь, пройденный маятником за одно полное колебание равен

а путь, пройденный маятником за n полных колебаний, будет найден следующим образом

Сила трения качения в выражении (4.8) определяется по формуле (4.3), где N - сила нормального давления, которая в данном случае является составляющей силы тяжести P (рис. 4.5), направленной нормально к плоскости N = -P₂. Из рис. 4.5 P₂ = P cos  , с учетом этого выражения (4.3) принимает следующий вид:

Подставляя выражение (4.11) и (4.12) в (4.8), получим работу силы трения, совершенную заn полных колебаний.

Приравнивая (4.7) и (4.14), получим

Принимая во внимание, что углы ₀ и _n , стоящие в знаменателе этой формулы, должны быть выражены в радианах, а наклонный маятник снабжен для измерения этих углов градусной шкалой, можно ввести переводной коэффициент. Учитывая, что 1⁰ = 1/57,3 рад, получим окончательную формулу

Теперь получим формулу коэффициента трения скольжения. Воспользуемся законом сохранения энергии (4.4). Уменьшение энергии маятника после n полных колебаний E, обусловленное их затуханием определяется согласно (4.7).

Найдем теперь A, то есть работу силы трения скольжения. Эта работа равна произведению силы трения скольжения F на путь S, представляющий собой сумму всех амплитуд за n полных колебаний, который может быть найден по формуле (4.11). Сила трения скольжения определяется по формуле (4.1). Следовательно, работа силы трения скольжения за n полных колебаний находится из выражения

Приравнивая (4.7) и (4.16) и учитывая, что 1⁰ = 1/57,3 рад, получим окончательную формулу