12. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

12.1. Сила тока и плотность тока.

Упорядоченное движение зарядов называется электрическим током.

Электрический ток характеризуется силой тока. Сила тока  скалярная величина , равная заряду, переносимому через поперечное сечение проводника в единицу времени. Если за время dt переносится заряд dq, то сила тока i равна

i= (12.1)

Если q  неизменный заряд, переносимый за какое-то определенное время t , то

I= (12.1’)

и ток называется постоянным. Различают виды тока: конвенционный и ток проводимости. Большей частью мы будем рассматривать лишь ток проводимости. Током проводимости называют электрический ток, обусловленный упорядоченным движением свободных зарядов в проводниках. В системе СИ ток измеряется в амперах (А).

Одной из основных характеристик электрического тока является плотность тока. Вектором плотности тока называется сила тока di, которое проходит через поперечное единичное сечение, ориентированное перпендикулярно к вектору скорости движения зарядов.

j= (12.2)

 величина векторная, направлена в сторону движения положительных носителей заряда, измеряется в А/м² (СИ).

Направленное движение зарядов может осуществляться переносом как положительных носителей заряда так и отрицательных. Если в единице объема содержится n⁺ положительных носителей и n^- отрицательных и они под действием поля приобретают скорости u⁺ и u^- , то за единицу времени через единичную площадку пройдет заряд , равный e⁺n⁺u⁺ и e^-n^-u^- , т. е. для плотности тока получаем следующее выражение

, (12.3)

где e  элементарный заряд.

12.2 . Электродвижущая сила. Разность потенциалов и падение напряжения.

Упорядоченное движение зарядов можно вызвать различными способами. Во-первых, под действием электрических (кулоновских) сил. Однако кулоновские взаимодействия между зарядами всегда приводят к такому перераспределению свободных зарядов, при котором электрическое поле в проводнике исчезает, а потенциалы во всех точках выравниваются. Поэтому поле кулоновских сил не может вызвать стационарный процесс упорядоченного движения зарядов, т. е. не может являться причиной постоянного электрического тока.

Очевидно, что для поддержания постоянного тока в цепи на свободные заряды должны действовать помимо кулоновских сил еще какие-то иные, неэлектрические силы. Эти силы носят название сторонних сил, напряженность поля этих сил  E_ст.

Для поддержания тока необходимо осуществлять круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные заряды двигались бы в сторону убывания потенциала, должны быть участки, где заряды двигались бы в направлении возрастания потенциала, т. е. против сил электрического поля. Такое движение возможно лишь с помощью сторонних сил. Для поддержания электрического тока в замкнутой цепи необходимы устройства, в которых возникли бы сторонние силы  источники тока.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению положительного единичного заряда, называется электродвижущей силой (э.д.с.)ε , действующей в цепи или на ее участке

ε = (12.4)

Стороннюю силу, действующую на заряд можно представить в виде

_ст = _ст q ; A = Fl =q_ст dl ; ε _1,2 = _ст dl

ε_1,2  э.д.с., действующая на участке цепи 1-2.

Работа по перемещению заряда на всей замкнутой цепи равна

A = _ст dl = q_ст dl , откуда

ε = _ст dl (12.5)

Кроме сторонних сил, на заряд действуют силы электростатического поля . Следовательно, результирующая сила в каждой точке цепи, действующая на заряд q :

(12.6)

Работа этой силы на участке цепи 1-2

A_1,2= q_{ст l} dl + q_l dl= qE_1,2 + q(₁ - ₂) (12.7)

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому:

A=qε

Величину, численно равную работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда называют падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи. В соответствии с формулой (12.7)

U₁₂=₁ - ₂ + ε₁₂ (12.8)

При отсутствии сторонних сил напряжение совпадает с разностью потенциалов ₁ - ₂ .

12.3. Законы Ома и Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Как известно, закон Ома был установлен эмпирически и имеет вид

(12.9)

В этой форме он справедлив для однородного участка проводника.

З

Рис. 12.1

акон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору плотности тока j в данной точке.

Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой jdS. Напряжение, приложенное к цилиндру , Edl. Сопротивление цилиндра (рис.12.1), где  - удельное сопротивление проводника. Подставив эти значения в формулу (12.9), получим

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора . Поэтому и по направлению совпадают и можно записать , где -удельная проводимость проводника, то

(12.10)

Формула (12.10) выражает закон Ома в дифференциальной форме.

При прохождении по проводнику тока проводник нагревается. Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально обнаружили , что

Q = I²Rt (12.11)

где Q- количество теплоты; I- сила тока; R- сопротивление проводника; t- время. От этой формулы (12.11), определяющей тепло, выделяемое во всем проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в отдельных малых участках проводника. Выделим элементарный объем в виде цилиндра, точно таким же образом, как и при выводе закона Ома. Согласно закону, за время dt в этом объеме выделится тепло:

или учитывая , что dS d= dV , dQ= j² dV dt.

Количество тепла dQ , отнесенное к единице времени и единице объема, назовем удельной мощностью тока w. Кроме того , j = E, а , т.е. . Учитывая эти зависимости, можно записать: w = j² = ²E² =E², т.е.

w = E² (12.12)

Формула (12.12) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

12.4. Закон Ома для неоднородного участка цепи.

Н

еоднородный участок цепи  это участок, содержащий источники питания (рис. 12.2.) . Выведем закон Ома для такого участка, исходя из сохранения энергии. Известно, что при прохождении тока совершается работа:

dA= dqε_1.2 + dq(₁ - ₂),

где ε_1.2 - э.д.с , действующая на участке, а ₁ - ₂ - разность потенциалов на концах этого участка , за время dt выделится тепло:

Рис.12.1 dQ= I² Rdt= IRIdt= IRdq.

Приравнивая оба выражения, получим

IR = ₁ - ₂ + ε_1.2, или

(12.13)

Формула (12.13) - закон Ома для неоднородного участка цепи. При ε_1.2 = 0 получим закон Ома для однородного участка. При ₁ = ₂ получим закон Ома для замкнутой цепи, т.е. формулы , уже известные ранее.