лекции по физике / Лекция 6
.docЛекция 6.
Скорости газовых молекул. Распределение Максвелла. Распределение Больцмана. Явление переноса.
6.1. Функция распределения скоростей. Опыт Штерна.
Из формул W=3/2КТ и Wк=mv2/2, где v2 квадрат средней квадратичной скорости, получим
υ кв = (6.1)
При Т=2730,например скорость молекул кислорода 460, т.е. сравнимо со скоростью артиллерийского снаряда. Но при одной и той же температуре в газе есть молекулы с большими и меньшими скоростями, т.к. средняя квадратичная скорость – это статическая характеристика.Число «быстрых» и «медленных» молекул в газе характеризуется функцией распределения, которая показывает количество молекул в единице интервала скоростей. Эта функция зависит от скорости V ,около которой взят интервал DV б от общего числа молекул n и температуры Т. она впервые определена Максвеллом (1859 г.) на основе теории вероятностей и имеет вид:
(6.2)
Где n – общее число молекул газа, а m - молекулярная масса газа. Анализируя функцию, можно получить, что при v®, функция®0; при V®¥, функция тоже ®0. При V= функция имеет max.
Величина Vв= (6.3) называется наиболее вероятной скоростью. Эта скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. График функции (6.2) показан на рисунке 6.1. Молекул с малыми и очень большими скоростями очень мало , большинство их имеет скорости близкие к наиболее вероятной, где функция имеет max. Из рис. 6.1 следует, что площадь заштрихованного участка , т. е. это число молекул в интервале . Следовательно вся площадь под кривой равна общему числу молекул газа n.
Следует отметить. что при изменении температуры будут изменятся скорости молекул газа и наиболее вероятная скорость. При повышении температуры max графика снижается и смещается вправо, при понижении кривая распределения сужается, а max повышается (рис. 6.1)
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Из распределения Максвелла можно получить и среднюю арифметическую скорость молекул, она равна:
υcp = (6.3`)
Из формул (6.1), (6.3), (6.3`) ясно, что υкв> υа> υb . Численно они относятся как 1 : 0,9 : 0,8. Распределение Максвелла имеет экспериментальные подтверждения, например, опыт Штерна (1920г).
В опыте применялись два коаксиальных цилиндра, на внутреннем имелась щель и внутри него натянута проволока покрытая серебром (рис. 6.2). Проволока нагревалась и атомы серебра испарялись. Во внешнем цилиндре А радиусом R создавался глубокий вакуум. Оба цилиндра синхронно вращались. За время движения частиц серебра от щели до поверхности цилиндра А он успевал повернуться на угол j изображение щели при этом смещалось, а образовавшийся осадок по внешнему виду напоминал кривую распределения Максвелла. Угол j определяется формулой: φ = ∙ ω
Здесь R и r радиусы цилиндров; w - угловая скорость вращения; v – скорость молекул серебра. Измерив j и зная R, r, и w, можно определить v. Эта скорость близка к той, которая получена из уравнения (6.2).
6.2. Вывод барометрической формулы.
Распределение Больцмана.
Молекулы газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение и тепловое движение молекул приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой. Зависимость атмосферного давления от высоты выражается барометрической формулой. При выводе зависимости считаем, что газ идеальный, ускорение g-const, t0-const.
Выделим мысленно столб воздуха с сечением = I (Рис.6.3). На высоте h-давление р. На высоте h+dh давление р+dp, (если dh>0, то dp<0). Разность давлений будет p-(p+dp). Она равняется весу столба газа высотой dh, т. е. p-(p+dp)=rgdh, где r-плотность газа, dh – высота.
Рис. 6.3 Рис. 6.4
Отсюда –dp=rgph. Из уравнения получим, что , тогда .
Интегрируя равенство:
. Последнее можно представить , если h2 – h1 = h. Высоты брались относительно уровня моря, применяя понятие нормального давления, можно записать:
(6.4)
Формула (6.4) и называется барометрической формулой. Она выражает зависимость давления от высоты. На основе этой зависимости устроен прибор для измерения высоты – альтиметр.
Применив к (6.5) p=nkT, получим:
(6.5)
В этом виде формула называется распределение Больцмана. Учитывая, что m = m * N, можно получить распределение Больцмана в виде:
(6.5)/.
Формулы (6.5), (6.5)/ справедливы не только для молекул в поле Земли, но и для любых, равных по массе частиц, в любом потенциальном поле. На основании (6.5)/ определяют на опыте число Авогадро.
6.3. Явления переноса.
Хаотическое движение молекул ведет к непрерывному перемешиванию газа. С этим связан ряд важных явлений, происходящих в газах. Если плотность газа в разных частях объема различна, то со временем она выравнивается. Происходит перенос массы, это явление называется диффузией. Аналогично за счет переноса энергии в результате хаотичного движения молекул существует теплопроводность. Если два слоя движутся с различными скоростями, то за счет переноса молекулами количества движения скорости слоев выравниваются, а явление называется вязкостью. Все вышеприведенные явления имеют один механизм и называются явлениями переноса.
Вязкость двух слоев газа (жидкости) называют еще внутренним трением. Сила внутреннего трения определяется законом Ньютона: (6.6)
где h - коэффициент динамической вязкости;
- градиент скорости, показывает быстроту изменения скорости в направлении z, перпендикулярном движению слоев;
S – площадь слоев, на которую действует сила F (рис 6.4)
Динамическая вязкость h зависит от природы газа или жидкости и измеряется в Пас (СИ). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной. Вязкость зависит от температуры, характер этой зависимости различен для газов и жидкостей. Кроме динамической применяется кинематическая вязкость
=/ (6.7)