лекции по физике / Лекция 6

Лекция 6.

Скорости газовых молекул. Распределение Максвелла. Распределение Больцмана. Явление переноса.

6.1. Функция распределения скоростей. Опыт Штерна.

Из формул W=3/2КТ и W_к=mv²/2, где v² квадрат средней квадратичной скорости, получим

υ _кв = (6.1)

При Т=273⁰,например скорость молекул кислорода 460, т.е. сравнимо со скоростью артиллерийского снаряда. Но при одной и той же температуре в газе есть молекулы с большими и меньшими скоростями, т.к. средняя квадратичная скорость – это статическая характеристика.Число «быстрых» и «медленных» молекул в газе характеризуется функцией распределения, которая показывает количество молекул в единице интервала скоростей. Эта функция зависит от скорости V ,около которой взят интервал DV б от общего числа молекул n и температуры Т. она впервые определена Максвеллом (1859 г.) на основе теории вероятностей и имеет вид:

(6.2)

Где n – общее число молекул газа, а m - молекулярная масса газа. Анализируя функцию, можно получить, что при v®, функция®0; при V®¥, функция тоже ®0. При V= функция имеет max.

Величина Vв= (6.3) называется наиболее вероятной скоростью. Эта скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. График функции (6.2) показан на рисунке 6.1. Молекул с малыми и очень большими скоростями очень мало , большинство их имеет скорости близкие к наиболее вероятной, где функция имеет max. Из рис. 6.1 следует, что площадь заштрихованного участка , т. е. это число молекул в интервале . Следовательно вся площадь под кривой равна общему числу молекул газа n.

Следует отметить. что при изменении температуры будут изменятся скорости молекул газа и наиболее вероятная скорость. При повышении температуры max графика снижается и смещается вправо, при понижении кривая распределения сужается, а max повышается (рис. 6.1)

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Из распределения Максвелла можно получить и среднюю арифметическую скорость молекул, она равна:

υ_cp = (6.3`)

Из формул (6.1), (6.3), (6.3`) ясно, что υ_кв> υ_а> υ_b . Численно они относятся как 1 : 0,9 : 0,8. Распределение Максвелла имеет экспериментальные подтверждения, например, опыт Штерна (1920г).

В опыте применялись два коаксиальных цилиндра, на внутреннем имелась щель и внутри него натянута проволока покрытая серебром (рис. 6.2). Проволока нагревалась и атомы серебра испарялись. Во внешнем цилиндре А радиусом R создавался глубокий вакуум. Оба цилиндра синхронно вращались. За время движения частиц серебра от щели до поверхности цилиндра А он успевал повернуться на угол j изображение щели при этом смещалось, а образовавшийся осадок по внешнему виду напоминал кривую распределения Максвелла. Угол j определяется формулой: φ = ∙ ω

Здесь R и r радиусы цилиндров; w - угловая скорость вращения; v – скорость молекул серебра. Измерив j и зная R, r, и w, можно определить v. Эта скорость близка к той, которая получена из уравнения (6.2).

6.2. Вывод барометрической формулы.

Распределение Больцмана.

Молекулы газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение и тепловое движение молекул приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой. Зависимость атмосферного давления от высоты выражается барометрической формулой. При выводе зависимости считаем, что газ идеальный, ускорение g-const, t⁰-const.

Выделим мысленно столб воздуха с сечением = I (Рис.6.3). На высоте h-давление р. На высоте h+dh давление р+dp, (если dh>0, то dp<0). Разность давлений будет p-(p+dp). Она равняется весу столба газа высотой dh, т. е. p-(p+dp)=rgdh, где r-плотность газа, dh – высота.

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Отсюда –dp=rgph. Из уравнения получим, что , тогда .

Интегрируя равенство:

. Последнее можно представить , если h₂ – h₁ = h. Высоты брались относительно уровня моря, применяя понятие нормального давления, можно записать:

(6.4)

Формула (6.4) и называется барометрической формулой. Она выражает зависимость давления от высоты. На основе этой зависимости устроен прибор для измерения высоты – альтиметр.

Применив к (6.5) p=nkT, получим:

(6.5)

В этом виде формула называется распределение Больцмана. Учитывая, что m = m * N, можно получить распределение Больцмана в виде:

(6.5)^/.

Формулы (6.5), (6.5)^/ справедливы не только для молекул в поле Земли, но и для любых, равных по массе частиц, в любом потенциальном поле. На основании (6.5)^/ определяют на опыте число Авогадро.

6.3. Явления переноса.

Хаотическое движение молекул ведет к непрерывному перемешиванию газа. С этим связан ряд важных явлений, происходящих в газах. Если плотность газа в разных частях объема различна, то со временем она выравнивается. Происходит перенос массы, это явление называется диффузией. Аналогично за счет переноса энергии в результате хаотичного движения молекул существует теплопроводность. Если два слоя движутся с различными скоростями, то за счет переноса молекулами количества движения скорости слоев выравниваются, а явление называется вязкостью. Все вышеприведенные явления имеют один механизм и называются явлениями переноса.

Вязкость двух слоев газа (жидкости) называют еще внутренним трением. Сила внутреннего трения определяется законом Ньютона: _(6.6)

где h - коэффициент динамической вязкости;

- градиент скорости, показывает быстроту изменения скорости в направлении z, перпендикулярном движению слоев;

S – площадь слоев, на которую действует сила F (рис 6.4)

Динамическая вязкость h зависит от природы газа или жидкости и измеряется в Пас (СИ). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной. Вязкость зависит от температуры, характер этой зависимости различен для газов и жидкостей. Кроме динамической применяется кинематическая вязкость

=/ (6.7)