3.2.8 Пересечение прямой линии с поверхностью.

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью необходимо выполнить следующие построения.

1. Заключить прямую линию во вспомогательную плоскость  посредник.

2. Найти линию пересечения посредника с данной поверхностью.

3. Отметить точки пересечения найденной линии с данной прямой – это точки “входа” и “выхода”.

В качестве плоскостейпосредников могут быть приняты любые плоскости общего положения, проецирующие и уровни. Выбирают посредник исходя из условия, чтобы линия пересечения его с поверхностью была наиболее простая: прямая или окружность. На рисунке 29 определены точки встречи прямой с конусом, причем в качестве посредника применена плоскость общего положения, проходящая через вершину конуса. Эта плоскость пересекла конус по двум прямым - образующим (S1 и S2). Для нахождения этих образующих построен горизонтальный след плоскостипосредника, в пересечении которого с основанием конуса и найдены начала образующих  точки 1 и 2. Дальнейшее построение ясно из чертежа (см. рисунок 29).

Рисунок 29. Пересечение прямой с поверхностью конуса

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты заданий

Номер варианта	Номер задач	Номер варианта	Номер задач
1	1, 60, 90, 91, 121, 151	26	26, 35, 65, 116, 146, 176
2	2, 59, 89, 92, 122, 152	27	27, 34, 64, 117, 147, 177
3	3, 58, 88, 93, 123, 153	28	28, 33, 63, 118, 148, 178
4	4, 57, 87, 94, 124, 154	29	29, 32, 62, 119, 149, 179
5	5, 56, 86, 95, 125, 155	30	30, 31, 61, 120, 150, 180
6	6, 55, 85, 96, 126, 156	31	3, 42, 63, 120, 131, 178
7	7, 54, 84, 97, 127, 157	32	5, 44, 65, 118, 133, 176
8	8, 53, 83, 98, 128, 158	33	7, 46, 67, 114, 135, 174
9	9, 52, 82, 99, 129, 159	34	9, 48, 69, 116, 137, 172
10	10, 51, 81, 100, 130,160	35	11, 50, 71, 112, 139, 170
11	11, 50, 80, 101, 131, 161	36	13, 52, 73, 110, 141, 168
12	12, 49, 79, 102, 132, 162	37	15, 54, 75, 108, 143, 166
13	13, 48, 78, 103, 133, 163	38	17, 56, 77, 106, 145, 164
14	14, 47, 77, 104, 134, 164	39	19, 58, 79, 104, 147, 162
15	15, 46, 76, 105, 135, 165	40	21, 60, 81, 102, 149, 160
16	16, 45, 75, 106, 136, 166	41	23, 59, 83, 100, 121, 158
17	17, 44, 74, 107, 137, 167	42	25, 37, 85, 98, 123, 156
18	18, 43, 73, 108, 138, 168	43	27, 35, 87, 96, 125, 154
19	19, 42, 72, 109, 139, 169	44	29, 33, 89, 94, 127, 152
20	20, 41, 71, 110, 140, 170	45	4, 31, 64, 92, 129, 180
21	21, 40, 70, 111, 141, 171	46	6, 49, 66, 91, 142, 173
22	22, 39, 69, 112, 142, 172	47	8, 47, 68, 93, 140, 175
23	23, 38, 68, 113, 143, 173	48	10, 45, 76, 95, 134, 167
24	24, 37, 62, 114, 144, 174	49	12, 43, 78, 107, 136, 169
25	25, 36, 66, 115, 145, 175	50	14, 41, 80, 109, 138, 171

Построить равносторонний  АВС с основанием ВС, равным 100 мм, лежащим на прямой МN, и вершиной А на прямой EF. Определить углы наклона высота АК к плоскостям V и H

№		М	N	E	F		№		M	N	E	F
1	х	150	0	50	85		6	х	0	140	100	60
	у	60	20					у	70	0		
	z	20	20	100	0			z	30	30	110	10
2	х	10	160	90	50		7	х	30	150	100	100
	у	25	25	10	110			у	120	60		
	z	0	50					z	95	95	120	20
3	х	170	30	105	70		8	х	170	10	125	80
	у	60	20					у	30	30	120	0
	z	30	30	10	105			z	20	80		
4	х	15	155	110	80		9	х	160	20	85	120
	у	100	100	15	120			у	25	25	10	115
	z	70	110					z	10	50		
5	х	140	5	70	100		10	х	25	175	105	70
	у	115	65					у	110	110	130	10
	z	90	90	100	10			z	120	70		

Построить параллелограмм АВСD со стороной ВС длиной 100 мм, расположенной на прямой ВМ, исходя из условия, что его высота АК лежит на прямой EF и длина боковой стороны равна 60 мм. Определить углы наклона высоты АК к плоскостям V и H.

№		В	N	E	F		№		В	N	E	F
11	х	60	50	145	110		16	х	140	20	130	80
	у	40	70					у	30	90		
	z	50	50	100	15			z	60	60	100	10
12	х	40	150	60	95		17	х	150	30	145	85
	у	60	60	20	100			у	60	60	100	10
	z	80	40					z	30	100		
13	х	160	55	140	115		18	х	10	130	70	25
	у	70	40					у	35	95		
	z	50	50	100	15			z	55	55	20	95
14	х	30	140	50	85		19	х	160	40	100	160
	у	55	55	100	10			у	55	55	15	95
	z	50	80					z	40	100		
15	х	120	0	65	108		20	х	120	0	60	110
	у	50	50	10	100			у	40	100		
	z	80	20					z	50	50	0	100

Построить равнобедренную трапецию АВСD с большим основанием ВС, расположенным на прямой МN исходя из условия, что её острый угол равен φ и меньшее основание трапеции равно высоте. Определить углы наклона высоты к плоскостям V и H.

№		А	М	N			№		А	М	N	
21	х	130	150	10			26	х	45	170	0
	у	80	30	30	600			у	60	30	30	450
	z	70	10	90				z	55	60	0
22	х	120	160	0			27	х	50	140	0
	у	55	25	25	450			у	80	0	40	750
	z	60	0	75				z	65	25	25
23	х	120	40	10			28	х	70	150	10
	у	70	30	30	750			у	100	10	80	600
	z	65	0	70				z	80	30	30
24	х	30	150	0			29	х	45	170	0
	у	70	20	20	600			у	70	60	0	450
	z	65	60	10				z	60	40	40
25	х	110	160	10			30	х	100	160	0
	у	65	25	25	750			у	90	60	20	600
	z	85	50	0				z	60	20	20

Построить линию пересечения двух непрозрачных фигур - треугольника АВС и параллелограмма DEFG.

№		А	В	С	D	E	F	G
31	х	187	0	40	115	183	65	
	у	0	115	20	122	90	15	
	z	45	120	0	12	60	145	
32	х	198	0	110	183	146	32	
	у	85	125	12	45	8	75	
	z	40	140	0	120	160	60	
33	х	185	0	80	23	17	50	
	у	30	145	0	82	52	35	
	z	45	110	15	130	18	0	
34	х	185	0	105	215	160	15	
	у	112	45	15	28	0	85	
	z	145	30	0	58	115	85	
35	х	185	0	105	165	215	65	
	у	140	30	0	115	55	25	
	z	115	45	15	0	30	115	

№		А	В	С	D	E	F	G
36	х	185	5	160	210	85	0	
	у	120	55	0	0	35	100	
	z	120	105	0	70	5	45	
37	х	180	5	145	210	125	0	
	у	120	105	0	70	105	45	
	z	120	55	0	0	70	105	
38	х	195	45	155	140	205	70	
	у	45	45	125	140	110	20	
	z	95	90	25	10	55	100	
39	х	130	0	188	30	10	188	
	у	125	60	10	30	90	90	
	z	115	60	10	80	20	10	
40	х	210	0	1250	100	30	138	
	у	10	42	128	0	15	128	
	z	108	25	25	10	42	100	

Построить линию пересечения двух непрозрачных фигур - треугольника АВС и четырехугольника DEFG.

№		А	В	С	D	E	F	G
41	х	180	0	90	180	100	30	50
	у	105	100	25	18	130	92	
	z	140	35	0	20	115	70	20
42	х	210	45	92	155	0	100	155
	у	0	130	0	20	20	110	110
	z	65	55	0	120	35	13	
43	х	58	188	102	170	0	80	182
	у	105	135	0	10	80	135	55
	z	110	80	8	140	50	0	
44	х	150	15	43	160	135	0	115
	у	65	125	0	95	45	45	120
	z	28	120	8	50	95	95	
45	х	55	180	100	80	0	170	130
	у	110	75	10	0	50	145	
	z	105	130	0	135	75	5	105

№		А	В	С	D	E	F	G
46	х	155	20	85	110	35	0	135
	у	0	30	115	5	0	155	
	z	115	58	0	55	85	45	20
47	х	160	0	40	205	0	42	115
	у	78	92	15	0	50	105	
	z	105	85	0	0	120	25	0
48	х	170	110	23	135	150	80	20
	у	12	128	55	120	70	0	
	z	55	130	20	0	100	130	40
49	х	135	0	115	150	55	25	115
	у	45	45	120	65	0	120	120
	z	100	100	28	28	0	120	
50	х	160	80	20	0	50	135	150
	у	65	140	10	40	125	125	
	z	30	127	48	90	20	20	120

Построить линию пересечения двух непрозрачных треугольников АВС и DEF.

№		А	В	С	D	E	F
51	х	205	45	165	205	150	0
	у	85	105	0	115	0	0
	z	92	78	15	50	122	0
52	х	130	0	85	185	15	105
	у	105	130	0	75	5	135
	z	110	75	15	50	145	0
53	х	130	0	85	185	108	15
	у	110	80	8	50	0	145
	z	105	135	0	80	135	5
54	х	140	100	20	80	0	130
	у	20	130	55	0	25	115
	z	50	115	20	130	115	0
55	х	180	0	95	155	83	0
	у	100	105	28	92	130	12
	z	35	140	0	70	115	20

№		А	В	С	D	E	F
56	х	150	15	45	115	0	135
	у	28	120	8	28	100	100
	z	65	120	0	120	45	45
57	х	170	0	112	218	92	5
	у	10	10	90	25	25	108
	z	62	178	15	42	128	10
587	х	170	93	0	197	55	15
	у	98	5	55	90	15	95
	z	0	155	108	45	125	45
59	х	157	0	65	150	80	0
	у	88	60	10	40	0	125
	z	128	102	25	18	160	85
60	х	135	0	80	145	23	100
	у	0	120	130	50	20	120
	z	120	30	0	20	55	130

Построить проекции шара радиусом 50 мм, касательного к плоскости треугольника ABC, если дана фронтальная проекция точки D  центра шара.

№		A	B	C	D		№		A	B	C	D
61	х	140	25	85	40		66	х	55	140	25	70
	у	30	45	140				у	55	70	100	
	z	100	70	20	105			z	70	30	15	70
62	х	35	115	150	90		67	х	150	85	35	120
	у	55	110	40				у	95	130	55	
	z	60	40	90	110			z	15	95	40	90
63	х	85	145	30	120		68	х	45	160	110	90
	у	125	40	25				у	90	50	125	
	z	10	60	90	90			z	10	35	95	90
64	х	135	20	60	90		69	х	0	50	115	100
	у	30	15	85				у	35	95	10	
	z	70	100	40	115			z	90	0	50	70
65	х	35	90	150	130		70	х	180	130	65	100
	у	90	10	60				у	90	0	50	
	z	25	125	40	90			z	25	95	0	80

Построить проекции прямой призмы, высота которой равна 70 мм исходя из условия, что её основание - равнобедренный треугольник ABC (AB=AC) с вершиной A на прямой EF.

№		B	C	E	F		№		B	C	E	F
71	х	140	100	80	40		76	х	50	105	160	125
	у	30	85	5	75			у	80	125	85	45
	z	30	5	95	55			z	40	100	110	5
72	х	100	60	160	125		77	х	115	60	170	135
	у	80	25	70	5			у	100	40	110	10
	z	10	35	75	85			z	125	80	85	45
73	х	80	120	20	55		78	х	100	155	45	80
	у	0	25	50	85			у	100	40	110	5
	z	75	20	65	0			z	145	100	108	55
74	х	80	120	180	145		79	х	100	55	165	125
	у	55	10	80	90			у	75	20	75	5
	z	25	80	70	5			z	0	40	50	90
75	х	150	95	75	40		80	х	100	145	35	75
	у	90	155	65	105			у	40	50	90
	z	90	100	5	110			z	85	30	85	15

Даны плоскость треугольника LMN и прямые AE и FG. Построить параллелограмм у которого сторона AD лежит на прямой AE, сторона AB параллельна плоскости треугольника вершина B принадлежит прямой FG, диагональ BO перпендикулярна стороне AO.

№		А	E	F	G	L	M	N
81	х	140	190	80	170	0	50	60
	у	30	105	80	125	80	100	10
	z	35	85	70	105	85	65	10
82	х	60	10	120	30	210	160	150
	у	35	85	70	105	85	65	10
	z	20	95	70	115	70	90	0
83	х	130	180	70	160	60	0	10
	у	40	90	70	110	10	85	30
	z	0	75	50	95	0	70	0
84	х	70	20	130	40	130	190	180
	у	30	105	80	125	0	70	0
	z	30	80	65	100	20	95	40
85	х	60	0	55	115	130	120	185
	у	30	90	110	60	70	0	70
	z	20	80	90	65	80	0	40

№		А	E	F	G	L	M	N
86	х	130	190	135	75	70	5	60
	у	30	90	100	75	0	40	80
	z	30	90	110	60	0	70	70
87	х	70	10	65	125	195	130	185
	у	20	80	90	65	80	40	0
	z	25	85	105	55	70	0	0
88	х	125	185	130	70	0	10	65
	у	15	75	95	45	70	0	0
	z	20	80	90	65	80	0	40
89	х	80	10	135	80	150	200	200
	у	30	105	0	100	20	0	60
	z	20	90	55	85	0	0	70
90	х	130	200	75	120	10	60	10
	у	30	100	65	95	70	0	0
	z	30	105	0	100	60	20	0

Дана пирамида SABC.

Определить:

1) высоту пирамиды (способом замены проекций);

2) натуральный вид основания (вращением вокруг горизонтали или фронтали);

3) угол между гранью SAB и основанием пирамиды (способом замены плоскостей);

4) угол наклона основания к плоскостям V и H (с помощью линий наибольшего наклона).

№		A	B	C	S		№		A	B	C	S
91	х	90	10	60	90		96	х	80	0	20	30
	у	10	30	40	15			у	30	20	0	50
	z	20	30	10	50			z	30	0	50	30
92	х	80	0	60	40		97	х	0	70	50	30
	у	20	30	0	50			у	15	10	40	20
	z	0	30	50	35			z	10	20	30	50
93	х	90	20	70	50		98	х	80	0	30	40
	у	10	15	40	20			у	30	10	0	40
	z	20	10	30	50			z	20	10	50	30
94	х	10	90	70	60		99	х	20	90	70	60
	у	25	15	0	40			у	0	0	40	20
	z	20	10	50	20			z	0	10	30	50
95	х	80	10	60	50		100	х	0	80	40	30
	у	0	10	40	20			у	20	10	0	40
	z	10	0	30	50			z	0	20	50	20

Дана пирамида SABC.

Определить:

1) высоту пирамиды (способом замены проекций);

2) натуральный вид основания (вращением вокруг горизонтали или фронтали);

3) угол между гранью SAB и основанием пирамиды (способом замены плоскостей);

4) угол наклона основания к плоскостям V и H (с помощью линий наибольшего наклона).

№		A	B	C	S		№		A	B	C	S
101	х	60	10	20	80		106	х	30	80	70	10
	у	50	10	40	0			у	40	20	60	10
	z	40	20	60	10			z	60	10	50	0
102	х	20	80	70	10		107	х	50	0	10	70
	у	60	20	50	0			у	40	20	60	10
	z	30	10	50	0			z	50	10	40	0
103	х	50	0	10	70		108	х	20	70	60	0
	у	60	20	50	10			у	30	10	50	0
	z	30	10	50	0			z	60	20	50	10
104	х	20	70	60	0		109	х	70	10	20	80
	у	50	10	40	0			у	30	10	50	0
	z	40	20	60	10			z	60	20	50	10
105	х	70	20	20	85		110	х	20	70	70	5
	у	50	10	40	10			у	30	10	50	0
	z	40	20	60	10			z	55	15	45	15

Дана пирамида SABC.

Определить:

1) высоту пирамиды (способом замены проекций);

2) натуральный вид основания (вращением вокруг горизонтали или фронтали);

3) угол между гранью SAB и основанием пирамиды (способом замены плоскостей);

4) угол наклона основания к плоскостям V и H (с помощью линий наибольшего наклона).

№		A	B	C	S		№		A	B	C	S
111	х	60	10	80	30		116	х	55	10	75	35
	у	10	30	50	60			у	10	35	50	60
	z	40	30	0	60			z	40	30	0	60
112	х	20	70	0	50		117	х	35	75	10	50
	у	50	40	10	70			у	50	40	10	70
	z	0	20	40	50			z	0	25	40	50
113	х	30	80	10	60		118	х	35	80	15	55
	у	0	20	40	50			у	0	25	40	50
	z	50	40	10	70			z	50	40	10	70
114	х	60	10	80	30		119	х	60	15	80	40
	у	40	30	0	60			у	60	40	10	70
	z	10	30	50	60			z	0	25	40	50
115	х	70	15	85	35		120	х	55	5	70	30
	у	10	20	40	50			у	10	25	40	50
	z	40	40	10	70			z	40	40	5	70

Построить проекции и натуральный вид фигуры сечения пирамиды плоскостью, заданной треугольником АВС, способом замены плоскостей проекций и дать развертку верхней отсеченной части пирамиды.

№		A	B	C		№		A	B	C
121	х	100	35	10		126	х	90	100	5
	у	15	85	45			у	0	50	55
	z	30	90	30			z	0	80	40
122	х	65	100	20		127	х	95	50	5
	у	10	50	80			у	35	35	65
	z	0	80	80			z	50	0	50
123	х	100	15	50		128	х	50	0	100
	у	25	90	15			у	50	55	20
	z	40	90	0			z	55	5	5
124	х	30	20	100		129	х	30	90	0
	у	80	25	25			у	90	30	35
	z	90	0	40			z	70	30	0
125	х	100	100	10		130	х	95	5	70
	у	15	60	45			у	15	60	85
	z	20	90	20			z	10	30	80

Построить проекции и натуральный вид фигуры сечения конуса плоскостью, заданной треугольником АВС, способом замены плоскостей проекций и дать полную развертку части конуса, прилегающей к основанию.

№		A	B	C		№		A	B	C
131	х	95	80	10		136	х	15	50	100
	у	95	20	95			у	0	100	0
	z	30	90	0			z	15	65	35
132	х	10	100	5		137	х	50	95	5
	у	0	80	80			у	0	95	95
	z	80	50	15			z	85	30	10
133	х	50	10	95		138	х	0	50	90
	у	0	85	95			у	50	95	0
	z	95	10	30			z	40	20	95
134	х	100	0	50		139	х	100	10	20
	у	95	95	15			у	60	0	100
	z	90	65	40			z	55	75	10
135	х	100	90	0		140	х	0	100	50
	у	20	100	65			у	20	0	100
	z	55	90	50			z	20	35	65

Построить проекции и натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью, заданной треугольником АВС, без преобразования чертежа и дать полную развертку меньшей отсечённой части цилиндра.

№		A	B	C		№		A	B	C
141	х	0	130	95		146	х	100	20	120
	у	0	100	0			у	5	5	125
	z	15	40	120			z	122	20	10
142	х	135	20	20		147	х	10	120	20
	у	0	80	125			у	105	25	35
	z	60	0	75			z	76	88	25
143	х	140	45	10		148	х	145	90	0
	у	0	0	102			у	0	120	108
	z	15	120	40			z	50	112	0
144	х	125	80	5		149	х	100	120	10
	у	108	10	0			у	0	100	120
	z	0	120	10			z	0	118	30
145	х	10	118			150	х	0	45	125
	у	0	20	110			у	35	120	0
	z	86	0	100			z	0	100	85

Найти точки встречи прямой АВ с поверхностью конуса и провести плоскость, касательную к конусу в одной из этих точек.

№		A	B		№		A	B
151	х	155	20		156	х	30	160
	у	125	20			у	120	20
	z	40	115			z	45	110
152	х	40	145		157	х	140	25
	у	35	115			у	35	125
	z	105	45			z	100	40
153	х	150	40		158	х	35	155
	у	120	18			у	108	22
	z	42	100			z	50	115
154	х	25	170		159	х	145	15
	у	5	140			у	30	122
	z	105	30			z	10	40
155	х	145	35		160	х	10	150
	у	115	15			у	135	28
	z	45	115			z	35	105

Найти точки встречи прямой АВ с поверхностью цилиндра и провести плоскость, касательную к цилиндру в одной из этих точек.

№		A	B		№		A	B
161	х	115	30		166	х	40	130
	у	38	150			у	140	60
	z	100	0			z	5	65
162	х	35	110		167	х	110	10
	у	140	45			у	35	155
	z	5	95			z	110	0
163	х	125	50		168	х	20	105
	у	50	130			у	145	40
	z	80	15			z	10	105
164	х	30	120		169	х	120	40
	у	148	55			у	45	125
	z	0	75			z	90	25
165	х	135	45		170	х	10	115
	у	55	135			у	155	50
	z	65	10			z	0	85

Найти точки встречи прямой АВ с поверхностью тора и провести плоскость, касательную к тору в одной из этих точек.

№		A	B		№		A	B
171	х	140	0		176	х	0	120
	у	20	100			у	20	90
	z	110	100			z	10	130
172	х	130	10		177	х	145	20
	у	105	35			у	15	90
	z	25	120			z	10	130
173	х	10	150		178	х	10	135
	у	105	25			у	35	105
	z	90	100			z	95	90
174	х	125	0		179	х	0	130
	у	110	30			у	110	35
	z	120	40			z	20	120
175	х	10	140		180	х	140	0
	у	105	30			у	100	20
	z	115	40			z	100	110

ЛИТЕРАТУРА

1. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб.  М.: Академия, 2011.

2. Гордон В.О. Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк., 2002.

3. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Высш. шк., 2003.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель и содержание задания . . . . . . . . . . . . . . . 3