Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Третий этап. Для каждого КЭ определяются зависимости между узловыми силами и перемещениями. Рассмотрим, как пример, плоский КЭ.
y |
|
Ryi |
i |
Rxi |
|
j |
i |
|
|
|
|
vi |
|
k |
u |
i |
i |
|
|
|
||
O |
|
x |
|
|
|
|
|
|
231
20.01.2013
Узлам придаются дополнительные связи. Например, для плоской задачи достаточно двух связей, исключающих линейные перемещения. Узловые реакции и узловые перемещения определяются своими компонентами в принятой системе координат.
Для упругой деформации между реакциями и перемещениями существует линейная зависимость
Rix k11ui k12vi k13uj k14v j k15uk k16vk ,
232
20.01.2013
где kij – коэффициенты жесткости. Такие зависимости можно записать для всех шести компонентов узловых сил
RixRiy
RjxRjy
RkxRky
k11
k21
k31
k41
k51k61
k12 k13 k14 k15 k22 k23 k24 k25 k32 k33 k34 k35
k42 |
k43 |
k44 |
k45 |
k52 |
k53 |
k54 |
k55 |
k62 |
k63 |
k64 |
k65 |
k16 k26
k36
k46 k56 k66
uivi
ujv juk
vk
.
233
20.01.2013
Или в матричной форме
R K q ,
где {R} – вектор узловых реакций;
[K] – матрица жесткости КЭ;
{q} – вектор узловых перемещений. Данная система линейных уравнений отражает условия равновесия КЭ. Матрица жесткости КЭ симметричная и может быть сформирована на основе принципа возможных перемещений.
234
20.01.2013
Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) формулируется так.
Если тело находится в равновесии и каждой его точке сообщить малое
смещение , допускаемое u
наложенными связями (возможные перемещения), то работа всех сил на возможных перемещениях равна нулю или, по-другому, приращение работы внутренних сил U равно работе внешних сил W на возможных перемещениях, т.е. U W.
235
20.01.2013
При этом полная потенциальная энергия системы П U W минимальна, т.к.
U W 0; (U W ) П 0. (1)
Работа внутренних сил (потенциальная энергия деформации) в области тела
U 1 d , 2
где σ и ε – функции напряжений и деформаций в области Ω.
236
20.01.2013
Работа внешних сил
W pud ,
где p и u – функции нагрузки и перемещений по области Ω.
Вариационный принцип Лагранжа позволяет получить систему уравнений равновесия исходя из условия минимума функционала полной потенциальной энергии системы.
237
20.01.2013
Если считать, что перемещения всех точек тела u есть известные функции узловых перемещений qi , то из (1)
|
П U |
W 0 (i 1,2, ,n) или |
|
|||||||||
|
qi |
qi |
|
qi |
|
|
|
|
|
|
||
|
U (q ) |
|
U (q ) |
|
U (q ) |
|
W (q ) |
|
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
n |
1 |
|
; |
|||
q1 |
|
|
q1 |
q1 |
q1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U (q ) |
|
U (q ) |
|
U (q ) |
|
W (q ) |
. |
||||
|
1 |
|
|
q |
2 |
n |
n |
|||||
|
q |
|
|
|
n |
|
q |
|
q |
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||
238
20.01.2013
Сравнивая с системой равновесия КЭ |
|||||
K q R |
|
можно представить |
|||
|
U (q j ) |
k |
q |
|
; |
|
|
j |
|||
|
|
ij |
|
|
|
|
qi |
|
|
|
|
|
W (qi ) R |
|
|
(i 1,2, , n), |
|
|
|
i |
|
|
|
|
qi |
|
|
|
|
где Ri - узловые нагрузки.
239
20.01.2013
Коэффициент жесткости kij – это усилие, возникающее по направлению i-той связи от j-го единичного перемещения при условии, что все остальные перемещения равны нулю. Из равенства работ внутренних и внешних сил получим
kij j i d .
240