Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Пример. Методом Эйлера найти решение задачи Коши
y y x
y(0) 1,5
в трех последовательных точках: x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6. Найти точное решение задачи и найти величину абсолютной погрешности.
Из условия задачи шаг h = 0,2.
Используя расчетную формулу Эйлера найдем приближенное решение задачи Коши:
y1 y0 0,2( y0 x0 ) 1,5 0,2 1,5 1,8;
y2 y1 0,2( y1 x1 ) 1,8 0,2 (1,8 0,2) 2,12;
y3 y2 0,2( y2 x2 ) 2,12 0,2 (2,12 0,4) 2,464.
131
20.01.2013
Получили численное решение задачи Коши:
xi |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
yi |
1.5 |
1.8 |
2.12 |
2.464 |
Точное решение этой задачи:
y( x) 0,5e x x 1.
Вычислим значения точного решения в указанных точках.
xi |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
|
|
|
|
yi |
1.5 |
1.811 |
2.146 |
2.511 |
|
|
|
|
|
Абсолютную погрешность вычислим как максимальную разницу приближенных и точных значений - R ≈ 0,05.
132
20.01.2013
Модифицированный метод Эйлера
Если при разложении функции y(x) в ряд Тейлора сохранить член с h2, то очевидно, что погрешность вычисления уменьшится и будет пропорциональна h3. Тогда, отбрасывая члены выше второго порядка, получим:
y( xi h) y( xi ) hy ( xi ) 2!1 h2 y ( xi ).
133
20.01.2013
Для расчета нужно знать вторую производную. Ее можно приближенно заменить разностным отношением
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||
|
) |
|
|
|
y ( xi |
h) y ( xi |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y ( xi |
x |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( xi h) y( xi ) |
h |
|
|
|
|
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
y ( xi h) |
y ( xi |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi 1 yi |
h |
|
f ( xi |
, yi |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
) f ( xi 1 , yi 1 ) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134
20.01.2013
Геометрически это означает, что вместо наклона касательной к истинной кривой в точке (хi , yi), который используется в формуле Эйлера, здесь применяется среднее значение наклонов касательных в точке (хi , yi) и последующей точке
(хi+1 , yi+1).
Поскольку неизвестно, то предварительно его можно получить по формуле Эйлера.
135
20.01.2013
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
yi* 1 yi h f ( xi , yi ) ,
yi 1 |
yi |
|
h |
f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi* 1 ) , |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i = 0, 1, … |
|
136
20.01.2013
Модифицированный метод Эйлера - метод второго порядка точности на интервале решения.
137
20.01.2013
Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта по сути объединяет методы решения задачи Коши различного порядка точности. В формуле Эйлера первого порядка точности для вычисления yi+1 используется только одно значение наклона касательной f (хi , yi), в модифицированных формулах второго порядка точности - два значения наклона f (хi , yi) и f (хi+1 , yi+1).
138
20.01.2013
Следовательно, для дальнейшего повышения точности необходимо в формулах учитывать большее число наклонов на интервале шага. На практике наиболее часто используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности, для которого погрешность на шаге пропорциональна h5. Его формулы используют четыре наклона: в начале, в конце и два в середине шага.
139
20.01.2013
yi 1 yi h6 K1 2K2 2K3 K4 , K1 f ( xi , yi ),
K2 f ( xi h2 , yi h2 K1 ), K3 f ( xi h2 , yi h2 K2 ), K4 f ( xi h, yi hK3 ) .
Высокая точность этого метода позволяет увеличить шаг h при выполнении практических расчетов.
140