Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
где f(x) – изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны.
В задаче об изгибе горизонтальной балки, лежащей на двух опорах, под действием распределенной поперечной нагрузки q(x)
q(x)
101
20.01.2013
вертикальный статический прогиб y(x) приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
|
M ( x) |
|
|
q( x); |
|
||||
|
||||
y ( x) EI ( x) |
или (EI ( x) y ( x)) |
|||
y(0) y(l ) 0,
где EI(x) – жесткость балки при изгибе; M(x) – изгибающий момент.
102
20.01.2013
Для уравнений или систем более высокого порядка возможны случаи, когда часть условий задана во внутренних точках отрезка. Такие условия называют внутренними краевыми. Например, если упругая балка постоянной жесткости лежит в четырех точках xi на опорах, то краевая задача ставится следующим образом:
d 4 y |
f ( x), |
f ( x) |
q( x) |
, |
a x b, |
|
dx4 |
EI |
|||||
|
|
|
|
y( xi ) 0, i 1, 2, 3,4, a x1 x2 x3 x4 b.
103
20.01.2013
Методы решения таких задач делят на две группы:
Сведение решения краевой задачи к решению серии задач Коши (метод стрельбы).
Конечно-разностные методы.
104
20.01.2013
Метод конечных разностей
Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в дифференциальном уравнении и граничных условиях конечно-разностными отношениями.
105
20.01.2013
Решение осуществляется в три этапа:
1.Область изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой.
2.Дифференциальные уравнения и граничные условия заменяются своими разностными аналогами. В результате получается система алгебраических уравнений.
3.Полученная система уравнений решается относительно искомых значений функции известным методом.
106
20.01.2013
Рассмотрим идею метода на примере краевой задачи для линейного дифуравнения второго порядка:
|
|
q( x) y f ( x), |
x [a, b] |
y |
p( x) y |
при линейных граничных условиях третьего рода
c1 y(a) c2 y (a) c,d1 y(b) d2 y (b) d,
где p(x), q(x), f(x) – непрерывные функции на отрезке [a, b].
107
20.01.2013
Согласно первого этапа метода введем на [a, b] сетку из n+1 узловых точек с постоянным шагом h:
xi = x0 + i h, |
i = 0, 1, …, n, |
где x0 = a, |
xn = b, h = (b - a) / n. |
Будем считать, что все переменные задачи определены только в узловых точках.
Требуется найти значения yi в узловых точках.
108
20.01.2013
Согласно второго этапа метода первую и вторую производные, входящие в дифференциальное уравнение аппроксимируем (приближенно заменим) конечноразностными отношениями. Для внутренних узлов будем иметь
|
|
yi 1 |
yi 1 |
|
|
|
yi |
2h |
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
yi 1 |
2 yi |
yi 1 |
, i 1,2, , n 1. |
|
|
|
|
||||
yi |
|
h2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
109
20.01.2013
Дифференциальное уравнение во внутренних узловых точках можно приближенно заменить линейной системой алгебраических уравнений
yi 1 2 yi yi 1 |
p |
yi 1 yi 1 |
q y |
i |
f |
, |
|
|
|||||
h2 |
i |
2h |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1, 2, , n 1.
110