Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Область решения задачи теплопроводности
t tm=T 
tj+1 
ui,j |
G |
j-й слой tj |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0-й слой t0 |
x |
0 |
|
x |
|
x |
|
x |
|
xn |
x |
0 |
|
h |
i-1 |
i |
i+1 |
l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
191
20.01.2013
Узлы, имеющие одинаковую временную координату ( j const ), называют слоями по времени.
Решение ищется последовательно по временным слоям начиная от слоя j=1 и далее до слоя j=m включительно.
Для разностной аппроксимации уравнения теплопроводности можно использовать четырехточечные шаблоны двух типов:
192
20.01.2013
|
|
|
u i,j+1 |
u i-1,j+1 |
u i,j+1 |
u i+1,j+1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(i, j + 1) |
(i - 1, j+1) |
|
(i, j+1) (i + 1, j+1) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u i-1,j |
|
u i,j |
u i+1,j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u i,j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i - 1, j) |
(i, j) |
(i + 1, j) |
|
|
|
|||||
|
|
|
(i, j ) |
|
||||||
|
явная схема |
|
неявная схема |
|||||||
В явной схеме производная 2u / x2 аппроксимируется с использованием известных значений сеточной функции на j-м временном слое, а в неявной схеме - с использованием неизвестных значений функции на (
193
20.01.2013
Явная разностная схема запишется
ui , j 1 ui , j ui 1, j 2ui , j ui 1, j O( ,h2 ). |
|
|
h2 |
Из этого соотношения следует, что искомое значение ui,j+1 определяется явным образом через известные значения на j-м слое по соотношению
ui , j 1 (1 2 )ui , j (ui 1, j ui 1, j ), (1)
где параметр h2 .
194
20.01.2013
Из шаблона неявной разностной схемы имеем
|
ui , j 1 ui , j |
|
ui 1, j 1 2ui , j 1 ui 1, j 1 |
O( ,h2 ) |
|
|
|
|
|||
|
|
h2 |
|||
или |
|
|
|||
ui 1, j 1 (1 2 )ui , j 1 |
ui 1, j 1 ui , j . (2) |
||||
Здесь значения ui,j |
для j-го слоя |
||||
являются известными.
195
20.01.2013
Соотношение (2), записанное для всех внутренних узлов ( j + 1)-го слоя, порождает систему линейных алгебраических уравнений, с помощью которых определяются неизвестные значения функции в узлах. Каждое уравнение этой системы содержит только три неизвестных, т.е. система обладает трехдиагональной матрицей коэффициентов и ее рационально решить либо методом прогонки, либо итерационными методами.
196
20.01.2013
Алгоритм численного решения задачи теплопроводности следующий:
На нулевом временном слое j=0 решение известно из начального условия
ui ,0 f ( xi ), i 0,1,...,n.
Также известны значения функции в левых и правых граничных узлах
u0, j 1(t j ); |
un, j 2 (t j ); |
197
20.01.2013
На каждом следующем слое искомая функция определяется:
−в явной схеме непосредственно по формуле (1);
−в неявной схеме путем решения системы из n-1 уравнения вида (2).
198
20.01.2013
Для выполнения расчетов по разностным схемам важно такое их свойство, как устойчивость.
Разностная задача будет корректной и устойчивой, если ее решение незначительно изменяться при малом изменении в начальных и граничных условиях, и в правых частях уравнений, связанных со случайными ошибками (ошибки округления).
В противном случае разностная задача является неустойчивой.
199
20.01.2013
Неявная схема устойчива при любых значениях параметра λ.
Явная схема оказывается устойчива
только при |
|
1 |
или |
|
h2 |
. Это |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
значит, что вычисления в явной схеме придется вести с очень малым шагом по времени.
200