Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Формулы Рунге-Кутта любого порядка точности можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифуравнение п-го порядка можно свести к п дифуравнениям первого порядка.
141
20.01.2013
В качестве примера рассмотрим задачу Коши для системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого
порядка
dydx
dz
dx
с двумя начальными условиями:
y( x0 ) y0 ,
z ( x0 ) z0 .
142
20.01.2013
Расчетные формулы Рунге-Кутта для системы
y |
|
y |
|
h |
K |
|
|
2K |
|
2K |
|
K |
|
, z |
|
|
|
z |
|
|
h |
L 2L 2L L , |
|||||||||||||||||||||||||
i 1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
2 |
3 4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
K1 f ( xi , yi , zi ), |
|
|
|
L1 g( xi , yi , zi ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
K |
|
f ( x |
|
|
h |
, y |
|
|
h |
|
K |
|
, z |
|
|
|
|
|
h |
|
|
L ), |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
L g( x |
|
|
h |
, y |
|
|
h |
K |
|
, z |
|
|
|
|
|
h |
|
L ), |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
K |
|
f ( x |
|
|
h |
, y |
|
|
h |
|
K |
|
, z |
|
|
|
h |
|
L ), |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
L g( x |
|
|
h |
, y |
|
|
h |
K |
|
, z |
|
|
|
h |
L ), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
K4 f ( xi |
h, yi |
hK3 , zi hL3 ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L4 g( xi |
h, yi hK3 , zi hL3 ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
143
20.01.2013
Характеристики одношаговых методов:
1.Чтобы вычислить решение в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке (“самостартование” метода).
2.В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие h в степени до p включительно. Тогда число p называют порядком метода.
3.Имеют низкую вычислительную эффективность.
144
20.01.2013
Многошаговые методы
Точность метода можно повысить, если использовать информацию о поведении решения y(x) в нескольких предыдущих точках: хi , хi-1 , … .
Такие методы получили название многошаговых.
145
20.01.2013
Метод Адамса четвертого порядка точности использует четыре точки:
yi 1 yi 24h (55 yi 59 yi 1 37 yi 2 9 yi 3 )
При “старте” метода необходимо знать решение в четырех начальных точках х0 , х1 , х2 , х3 . Недостающие значения y(x) вычисляются в точках х1 , х2 , х3 , как правило, по методу Рунге-Кутта соответствующего порядка.
146
20.01.2013
Локальную погрешность (на i -ом шаге)
оценивают по формуле:
i 720251 h5 y(5) , где y(5) – 5-я производная. Можно использовать схему расчета
типа “прогноз-корректор”:
|
(0) |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||
yi 1 |
yi |
|
|
|
|
(55 yi |
59 yi 1 |
37 yi 2 |
9 yi 3 ), |
||||||
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(k 1) |
|
|
|
h |
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
||
yi 1 |
|
yi |
|
|
|
|
(9 yi 1 |
19 yi |
5 yi 1 |
yi 2 ), k 0, 1, |
|||||
|
24 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(0)
Значение i 1 используют для
вычисления y (0) через дифуравнение.
i 1
147
20.01.2013
По сравнению с формулой прогноза формула коррекции имеет в 13 раз
меньшую локальную погрешность:
i 72019 h5 y(5) .
Часто в расчетах используют другой многошаговый метод четвертого порядка точности - метод Милна. Он предлагает более простые расчетные формулы с меньшей локальной погрешностью, но имеет и недостаток - расчет не всегда устойчив.
148
20.01.2013
Формула Милна для прогноза:
(0) |
|
4h |
|
|
|
|
yi 1 |
yi 3 |
|
(2 yi |
yi 1 |
2 yi 2 ), |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
формула Симпсона для коррекции:
(k 1) |
|
h |
(k ) |
|
|
|
yi 1 |
yi 1 |
|
( yi 1 |
4 yi |
yi 1 ), k 0, 1, 2 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Локальная погрешность на шаге:
i 901 h5 y(5) .
149
20.01.2013
Особенности многошаговых методов:
1.Не обладают свойством "самостартования". Для получения исходных значений используют какой-либо одношаговый метод.
2.Позволяют легко оценить погрешность на шаге, что позволяет увеличить допустимый шаг и повысить эффективность метода.
3.Требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем одношаговые методы сравнимой точности.
150