Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Кроме того граничные условия дополнительно
дают еще два уравнения
c y c |
|
|
y1 y0 |
c, |
|||
|
|
|
|
||||
|
1 0 |
2 |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
yn yn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d1 yn d2 |
|
|
|
d . |
|||
|
h |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем систему из n+1 линейных уравнений с n+1 неизвестными
y0, y1, …, yn.
111
20.01.2013
Приведем систему к виду |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
pi |
h |
yi qi h2 |
2 yi 1 |
|
pi |
h |
fi h2 , |
||
yi 1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
i1, 2, , n 1.
ивведем обозначения
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
p |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
q h |
|
|
||||||||||
|
i |
|
i 2 |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
p |
|
|
|
; |
|
|
|
f |
, |
|
|
i 1, 2, , n 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
|
|
i 2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
||||
112
20.01.2013
Получим |
|
i yi 1 i yi i yi 1 i , |
i 1, 2, , n 1. |
Граничные условия также преобразуем к виду
0 y0 0 y1 0 , |
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
, |
|
|
n 1 |
n |
n |
n |
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
||||
где 0 с1h c2; |
0 |
c2; |
0 |
ch; |
||||||
n d2; |
n d1h d2; |
n dh. |
||||||||
113
20.01.2013
Перепишем систему в виде
|
|
|
|
0 y0 0 y1 |
0 , |
|
||||||
|
|
yi 1 |
i yi |
i yi 1 i , |
|
|||||||
i |
i 1, 2, , n 1. |
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
. |
|
|
n 1 |
n |
n |
|
n |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно третьего этапа необходимо решить данную систему линейных алгебраических уравнений, каждое из которых содержит три соседних неизвестных: yi-1 , yi , yi+1.
114
20.01.2013
Для решения таких систем разработан специальный метод, получивший название - метод прогонки.
Метод прогонки представляет собой модификацию метода исключения Гаусса для системы с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Алгоритм метода включает прямой и обратный ход. На прямом ходе (вниз по системе) вычисляются так называемые прогоночные коэффициенты.
115
20.01.2013
Прямой ход начинается с определения начальных прогоночных коэффициентов
v |
|
0 |
|
c2 |
, u 0 |
|
ch |
|
0 |
|
|
||||||
|
0 |
|
c1h c2 |
0 |
0 |
|
c1h c2 |
|
|
|
|
|
|
||||
и затем по рекуррентным соотношениям вычисляются прогоночные коэффициенты vi и ui :
v |
|
|
i |
, u i i ui 1 |
, i 1,2, ,n 1 |
|
i |
|
|||||
|
|
i ivi 1 |
i |
i ivi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
116
20.01.2013
На обратном ходе (вверх по системе) через прогоночные коэффициенты вычисляются искомые неизвестные системы.
Сначала вычисляется
y |
n |
u n nun 1 |
|
dh d2un 1 |
, |
|
|
||||||
|
n |
n nvn 1 |
|
d1h d2 (1 vn 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
а затем остальные неизвестные по рекуррентной формуле
yi = ui + vi ∙yi+1 , i = n-1, n-2, … , 0.
117
20.01.2013
Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается условием преобладания диагональных коэффициентов в трехдиагональной системе
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
, |
i 0,1, , n. |
118
20.01.2013
|
начало |
||
|
ввод |
||
|
a, b, n |
||
|
ввод |
||
|
c1, c2, c, |
||
|
d1, d2, d |
||
h b a |
|||
|
|
n |
|
v0 |
|
c2 |
|
c1h c2 |
|||
|
|
||
u0 |
|
ch |
||
|
|
|||
c1h c2 |
||||
|
|
|||
i=1, n - 1
x a i h
1 p( x) h2
q( x)h2 2
1 p( x) h2
f (x)h2
vi |
|
||
|
|
||
vi 1 |
|||
|
|||
|
|
||
ui |
ui 1 |
||
vi 1 |
|||
|
|||
Алгоритм метода прогонки
yn |
d2un1 dh |
|
|
d1h d2 (1 vn1 ) |
|||
|
|||
|
i=n–1, 0,-1 |
||
yi ui vi yi1
i=0, n
yi
конец
119
20.01.2013
Погрешность в методе конечных разностей возникает при замене производных задачи на их конечноразностные аналоги. Эта погрешность тем меньше, чем меньше назначен шаг h сетки узловых точек или, подругому, чем больше их число n.
120