3.Использование принципа суперпозиции в расчетах внедрения краевой воды в газовую залежь.

Имеется залежь радиусом R_з, заданы Q_доб^ст(t), _н, k, k_в – фазовая проницаемость воды в газонасыщ-й области, h, m, _в, Р_н, Т_пл, z(P,T_пл).

Требуется рассчитать q_в(t), Q_в(t), (t), R(t).

В реальных усл-х дебит воды в залежь меняется со временем. Поэтому решения:

Q_в(t)=2khR_c²P(fo)/(_в) (1)

Р_н-Р(R_c,t)=_вQ_в(fo)/(2kh) (2)

полученные в теории укрупненной скв-ны исп-ть нельзя.

В этом случае удобно применить принцип суперпозиции к решению (1) или (2).

Q_в(t_n)=

Для линейных ДУ, в том числе и для частных производных возможно применение принципа суперпозиции. Общее понижение Р равно сумме понижений Р, вызванных работой n скв-н с постоянным дебитом q=q_вj.

P_н-Р(R_з,t_n)=P_j; j=1,n (3)

P_н-Р(R_з,t_n)=P_н-_в/(2kh)[q_вj(fo_n-fo_n-1)]; j=1,n (4) где fo_j=0=0, q_вj=0=0.

Расчет ведется по рекурентным соотношениям. Выделим из (4) слагаемое с номером n:

P_н-Р(R_з,t_n)=P_н-_в/(2kh)(-

-q_в(t_n)(fo_n-fo_n-1)) (5)

q_в(t_j)=q_в(t_j-1)+q_в(t_j) (6)

q_в(t_n)=q_в(t_n-1)+q_в(t_n) (7)

Q_в(t)=Q_в(t_n-1)+[q_в(t_n-1)+q_в(t_n)]t (8)

(9)

Противодавление созд-е столбом воды высотой y(t) равно _вgy(t) на НГВК. Воспользуемся методом последовательной смены стац-х состояний из формулы Дюпюи.

Р(R_з,t)-Р(R,t)=_в/(2k_вh)ln[R_з/R(t)][q_в(t_n-1)+q_в(t_n)] (10)

С учетом противодавления на НГВК (10)

Р(R,t)=+_вgy(t) (11)

P(R_з,t)-[(t)+_вgy(t)]=_в/(2k_вh)ln[R_з/R(t)]

[q_в(t_n-1)+q_в(t_n)] (12)

Исключая Р из (12) с учетом (9) и (5) получим:

Р_н-_в/(2kh)(-q_в(t_n)

(fo_n-fo_n-1))=+

+_вgy(n)+_в/(2kh)ln(R_з/R(t_n))[q_в(t_n-1)+q_вn] (13)

(13) квадратное отн-но q_в(t_n)

q_в(t_n)=b/(2a)-(b²/(4a²)-c/a (14)

гдеа=_в/(2kh)(t(fo_n-fo_n-1)+ln[R_з/R(t_n)])

b=Р_нt-_в/(2kh)tq_в(t_n-1)-ln[R_з/R(t_n)]+

+L_в/(2kh)(fo_n-fo_n-1)-

-_в/(2kh)t+

+L_в/(2kh)ln[R_з/R(t_n)]

c=Р_нL-L_в/(2kh)-

-L_в/(2kh)q_в(t_n-1)ln[R_з/R(t_n)]-d-_вgy(t_n)L

L=_н-Q_в(t_n-1)-q_в(t_n-1)t

d=(Р_н_н/z_н-Р_атТ_плQ_доб^ст(t_n)/Т_ст)

В (14) входят параметры на момент времени t_n: R(t_n), y(t_n), z(t_n). Поэтому решение производят методом последовательных итераций. В 1-м приближении:

R⁽¹⁾(t_n)=R(t_n-1); y⁽¹⁾(t_n)=y(t_n-1); z⁽¹⁾(t_n)=z(t_n-1)q_в⁽¹⁾(t_n)

Q_в⁽¹⁾(t_n) (по 8)⁽¹⁾(t_n)z⁽²⁾(t_n)

Q_в(t)=[R_з²-R²(t)]mh(-_ост)

R(t)=[R_з²-Q_в⁽¹⁾(t_n)/(mh(-_ост))]^0,5

y⁽²⁾(t_n)f[Q_в⁽¹⁾(t_n)]…

Итерации ведутся до сходимости Р Р⁽²⁾(t_n)-Р⁽¹⁾(t_n)

Величина подъема y(t) зав-т от формы залежи.

y=max=H_{этаж газонос-и}

Итерации ведутся до сходимости Р. Рез-ты расчетов сравнивают по давлениям:Р⁽²⁾(t_n)-Р⁽¹⁾(t_n)

4. Теория укрупненной скв-ны Ван Эвердингена и Херста для расчёта внедрения воды в газовую залеж (случай постоянного дебита и постоянной депрессии).

При иссл-и проявления водонапорного режима ГЗ часто аппроксимируется укрупненной скв-ной. На теории укрупненной скв-ны основаны методики прогнозирования показателей разр-и при водонапорном режиме.

Укрупненная скв-на радиусом R_з дренирует однородный по коллекторским свойствам водоносный пласт с постоянным во времени дебитом воды q_в. Согласно решению Ван Эвердингена и Херста, изменение во времени давления P(R_3,t) на стенке укрупненной скв-ны определяется:

P(R_з,t)=P_н-q_в_вР(fo)/(2kh) (1)

где fo=хt/R²_З; h, k, n — толщина и коэффициенты проницаемости и пьезопроизводности водоносного пласта соответственно; _b-коэффициент динамической вязкости воды; P(fo) — табулированная функция параметра Фурье fo.

Пусть укрупненная скв-на эксплуатируется с постоянным во времени противодавлением P=Р_н—Р(R_з,t) на водоносный пласт. Для вычисления суммарного кол-ва воды Q_B, к-е поступит в залежь к моменту t:

Q_в(t)=2khR_з²РQ(fo)/(_вх) (2)

где Q(fo) — табулированная функция пар-ра Фурье fo. Таблицы функций P(fo) и Q(fо) составлены для случаев  по протяженности, конечного замкнутого и открытого водоносного пласта. В качестве  водоносный пласт может рассм-ся при усл-и R_K/R₃>20, где R_к — радиус внешней границы пласта. Решения (1) и (2), полученные для случаев соответственно q_в=const и р=const, используются, благодаря принципу суперпозиции, для переменных во времени граничных усл-й на забое укрупненной скв-ны Hа начальных этапах проектирования разр-и ГМ и ГКМ информация о необходимых для соответствующих расчетов исходных данных еще недостаточна и невысока ее достоверность. При оценочных расчетах поступления в залежь подошвенной воды допустимо пренебрегать потерями Р в обводненной зоне пласта. Водоносный пласт принимается однородным по коллекторским свойствам и постоянным по толщине, т.е. заменяется эквивалентным пластом со средними параметрами. Примем следующую схематизацию. UP представляется укрупненной скв-ной радиусом R_З. Радиус укрупненной скв-ны определяется из равенства R_З=S (здесь S — площадь газоносности). Если возмущение, вызванное разр-й ГЗ, за рассматр-й период не достигает внешней границы, то водоносный пласт принимается  по протяженности. В противном случае водоносный пласт представляется круговым с радиусом R_к.

Известны запасы г, начальные Р_пл и Т_пл, параметры водоносного пласта, наличие или отсутствие области питания и др.

Необходимо определить показатели разр-и ГЗ при ВНР, при к-х обеспечивается получение заданного отбора гQ=Q(t).

Расчеты основаны на методе последовательных приближений и использовании решения для неустановившегося притока воды к укрупненной скв-не.

Продвижение в залежь подошвенной воды определяется изменением во времени среднего Р_пл, т.е. оправдано принятие допущения о равенстве среднего Р в залежи и Р_з на стенке укрупненной скв-ны Р(R₃,t)Р(f).

Требуется найти суммарное количество воды, к-е поступит в залежь к нек-у моменту t. Тогда интервал времени [0,t] разбивается на п одинаковых интервалов с шагом t. Зависимость Р=Р(t) приведенная на рис. 1, аппроксимируется ступенчатой зависимостью. Согласно решению (2) и принципу суперпозиции, суммарное количество воды, к-ое поступит в залежь к рассматриваемому моменту t, определится по формуле: Q_в(t)=2khR_з²/_в(Р₀Q(fo)+Р₁Q(fo-fo₁)+Р₂Q(fo-fo₂)+…+Р_nQ(fo-fo_n)), где приращения давлений Р₀, Р₁, Р₂ и т.д. определяют приток воды в течение t, (t—t₁), (t—t₂) и т.д. соответственно:

fo=хt/R²_З; fo-fo₁=х(t-t₁)/R²_З; fo-fo₂=х(t-t₂)/R²_З;

Определив по графику на рис. 1 приращения среднего пластового давления р₀, р₁, р₂ и т.д., вычислив аргументы функции Q и соответствующие значения самой функции, по формуле (5) находим Q_в(t). Проводя аналогичные расчеты для других моментов, определяем зависимость изменения во времени суммарного количества воды, поступающей в газовую залежь: О_в = Q_в(t) (6)

Указанный порядок расчетов возможен при проведении анализа разр-и газовой залежи при водонапорном режиме. В этом случае известны средние пластовые давления на прошедшие даты, т.е. располагаем графической

При иссл-и проявления ВНР ГЗ часто аппроксимируется укрупненной скв-ной. На теории укрупненной скв-ны основаны методики прогнозирования показателей разр-и при водонапорном режиме.

В уравнении материального баланса для ВНР при изв-й динамике отбора г неизвестными явл-ся Р_пл.

(t)/z()=1/[_н-Q_в(t)][P_н/z_н_н-Р_атТ_плQ_доб^ст(t)/Т_ст] (1)

где Q_в(t) – объем добытой скв-й воды.

 необходимо располагать динамикой внедрения пластовой воды, чтобы опр-ть динамику падения Р. В 1949 г. Ван-Эвердинген и Херст разработали теорию укрупненной скв-ны. Они решили уравнение пьезопроводности для радиального пласта о притоке воды к скв-е конечного радиуса.

²Р/r²+1/rP/r=1/P/t (2)

где  - коэф-нт пьезопроводности;

=kK/(m_в)

где К – объемный модуль упругости

Размером укрупненной скв-ы по сравнению с пластом пренебречь нельзя.

Р(r,t=0)=P_н=const – начальные условия. Граничные условия

Внешние границы:а) P(R_к,t)=P_н – открытая система;б) (Р/r)_r=Rк=0 – замкнутый водоносный пласт.

Внутренние границы (контур): а) P(R_к,t)- P(R_з,t)= P= const ;

б) (rР/r)_r=Rз= const

q_в=2R_зkh(P/r)_r=Rз/_в =const

(rР/r)_r=Rз=_в q_в/2kh= const^*