2. Ограниченность функции.
3. Четность функции. Функция называется f(x) четной, если:
D(f) симметрична относительно начала координат
Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = f(x)
Функция называется f(x) нечетной, если:
D(f) симметрична относительно начала координат
2) Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = -f(x)
График чётной функции симметричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).
4) Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число T называется периодом функции. ( Все тригонометрические функции являются периодическими).Привести примеры.
ВОПРОС №10 Достаточное условие обратимости функций. Теорема о графиках взаимно-обратных функций. (с доказательством).
Достаточным условием обратимости функции является её строгая монотонность.
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна. (т.е. когда она является одно-однозначным соответствием.)
функция x=f-1(y) называется обратной по отношению к функции y=f(x)
Теорема Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
Доказательство
…………………………………………………………………………………………………………
ВОПРОС №11 Определение чётных и нечётных функций. Теоремы о графиках чётных и нечётных функций (с доказательством). Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях (с доказательством одной из них).
см. Е.П. Нелин (зеленая книжка) СТР.33, 34 таб. 26
Четные и нечетные функции
Функция называется f(x) четной, если:
D(f) симметрична относительно начала координат
Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = f(x)
Функция называется f(x) нечетной, если:
D(f) симметрична относительно начала координат
2) Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = -f(x)
Функция является нечетной тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно начала координат.
Теоремы о графиках чётных и нечётных функций
Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях (с доказательством одной из них).
1. Теоремы сложения.
Сумма четных функций является четной функцией.
Дано: f(x), g(x) - четные
Доказать: S(x)=f(x)+g(x) – четная
Док-во:
Так как f(x), g(x) – четные, то f(-x) = f(x), g(-x) = g(x) (по определению)
При S(x)=f(x)+g(x) S(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=S(x) (ДОКАЗАНО)
Сумма нечетных функций является нечетной функцией.
Дано: f(x), g(x) - нечетные
Доказать: S(x)=f(x)+g(x) –нечетная
Док-во:
Так как f(x), g(x) – нечетные, то f(-x) = -f(x), g(-x) = -g(x) (по определению) При S(x)=f(x)+g(x) S(-x)=f(-x)+g(-x)= -f(x)+(-g(x))= -(f(x)+g(x))= -S(x) (ДОКАЗАНО)