
Список вопросов для экзамена по высшей математике
.docxСписок вопросов для экзамена по высшей математике
Пределы. а) Определение предела функции б) Вычисление предела
по определению
Непрерывность функции в точке и на отрезке. а) Определения б) Является ли функция
непрерывной на отрезке [-1, 1]
в) Классификация точек разрыва с примерами: устранимый разрыв, разрыв 1-го рода, разрыв 2-го рода
Вычисление производных. Привести пример из домашнего задания первого семестра.
Определение первообразной (неопределенного интеграла). Привести пример вычисления из домашнего задания первого семестра.
Определенный интеграл и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пример из домашнего задания первого семестра.
Определение несобственного интеграла. Пример вычисления.
Предел функции многих (двух) переменных. Пример вычисления по определению.
Непрерывность функций многих переменных. Частное и полное приращения. Частные производные. Пример.
Дифференциалы функций многих переменных. Пример вычисления (???) дифференциала.
Формула Тейлора, записанная с помощью дифференциалов в одномерном и многомерном случаях. Пример.
Определение строгого экстремума с помощью приращений. Необходимые и достаточные условия строгого экстремума бесконечно дифференцируемой функции. Пример.
Условные экстремумы. Минимальное и максимальное значение функции в области. Пример.
Двойной интеграл, определения, свойства, пример вычисления.
Тройной интеграл, определения, свойства, пример вычисления.
Криволинейные интегралы первого и второго рода. Примеры вычисления.
Формула Грина. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости. Пример.
Формула Ньютона-Лейбница для интеграла второго рода. Пример восстановления функции по ее дифференциалу.
Поверхностные интегралы первого и второго рода. Выражение элемента площади поверхности через площадь ее проекции на координатную плоскость. Пример.
Формула Стокса. Формула Остроградского-Гаусса. Пример.
Потенциалы векторных полей и их вычисление. Примеры.
Вычисление площадей поверхностей и объемов тел. Примеры.
Векторное пространство (определение векторов, правила сложения и умножения на число). Пример.
Скалярное и векторное произведение векторов, их геометрический смысл. Примеры.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Определение. Критерии линейной независимости в трехмерном пространстве. Примеры.
Матрицы и определители.
– Умножение и сложение матриц
– Ранг матрицы
– Определитель матрицы
– Свойства определителей – Приведение симметричной матрицы и квадратичной формы к диагональному виду
– Примеры
Преобразование координат при переходе к новому базису. Преобразование поворота. Пример.
Прямые линии и плоскости. Задание в параметрической и координатной форме и в векторной форме. Пример.
Задачи: расстояние между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, угол между двумя примерами.
Линии второго порядка на плоскости. Преобразование уравнения к каноническому виду. Виды канонических линий (эллипс, парабола и т.д.). Пример.
Поверхности вращения – конус, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Пример.