
Вышмат
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Ю.Л.Александров, Н.П.Андреева, Р.В. Арутюнян, А.В.Куприн, А.Р.Лакерник, А.М. Райцин
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ
по темам
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Москва 2013
План УМД 2013/2014 уч. г.
СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ
по темам
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Составители: Ю.Л.Александров Н.П.Андреева Р.В. Арутюнян А.В.Куприн А.Р. Лакерник А.М. Райцин
Утверждено Советом ОТФ-1 |
Протокол № от |
Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор
СОДЕРЖАНИЕ
1.Варианты контрольных заданий по темам:
Определенные и несобственные интегралам. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля……………………… …………………………......4
2.Решение типового варианта………………………………………………..49
3.Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнения……67
4.Решение типового варианта………………………………………………..97
3

1.Варианты контрольных заданий по темам: Определенные и несобственные интегралам.
Вариант 1. Часть 1.
I. Вычислить интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 1 |
|
ex dx |
; |
2. 2 3x 2 lnxdx; |
3. 2 cos4 x sin3 xdx; 4. |
3 |
|
|
dx |
; 5. |
|||
e |
x x |
|
2 |
6x 5 |
|||||||||
0 |
|
e |
1 |
0 |
2 x |
|
|
||||||
|
dx |
|
|
8 |
8 x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
; |
6. 0 |
8 x dx; |
|
|
|
|
|
|
|||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|
|
||||||||
1. y 2 |
x 1, |
y x 1. |
|
|
|
|
|
|
2.Внутриокружности ρ 6cosφ иодновременновнелемнискаты ρ2 9cos2φ. Вычислить длинудугикривой:
3.Вычислить длину дуги кривой x2 y2 17, расположенной внутри ветвей
гиперболы xy 4.
4. cos1 , 0 3.
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
|
f x,y dxdy в декартовых координатах для областиD : y |
4 x2 , y 3x, |
|
D |
|
x 0. |
|
|
2. |
Найти массу неоднородной пластины D : y2 x, x 3,если поверхностная |
|
плотность в каждой ее точке x,y x. |
|
|
3. |
Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 |
2y 0, x y 0, |
относительно оси Ox , используя полярные координаты. |
|
|
4. |
Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V : |
|
x 6 y2 z2 , y2 z2 3, x 0. |
|
5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y2 x2 z2, y 4.
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 9x, x y, x y 2.
7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
4

3 y2 x2 2 dx x2 1 xy dy, где L контур треугольника ABC : A 1;1 ,
L 4 2 B 2;2 , C 1;3 .
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 2y2 2z2 1 в точке M 1,1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F x y i zk .
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 3xi y z j x z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x 3y z 3 и координатными
плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F (x y)i (2x y) j (x2 2z 4)k по контуру
x2 y2 (z 2)2,
L : .
z 4
Вариант 2. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. Вычислить интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
3 |
1 x2 |
1 |
|
2 |
|
4 |
3 |
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
; |
2. |
|
|
|
|
dx; |
3. |
3 2x x |
|
dx; |
4. tg |
|
xdx; |
|
x |
2 |
3x 2 |
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
lnxx2dx; |
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. 1 |
6. 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
|
|
||||||||||||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
y 2lnx, |
y ln x 2 , |
|
|
x 4. |
|
|
|
|
|
|
|
2. Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременновнутриокружности ρ 1.
Вычислить длинудугикривой: |
||||||
3. |
y 12 ch2x , |
y (12)ch6. |
||||
4. |
x cos2t, |
0 t |
|
. |
||
|
|
|||||
24 |
||||||
|
y sin2t, |
|
|
|
5

Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x2 2y,
D
5x 2y 6 0.
2.Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 0, x y 1, если поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, x y 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.
4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :
y 3 x2 z2 , x2 z2 36, y 0.
5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x y2 z2, x 2.
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 5, z x2 y2 1.
7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
xy x y dx xy x y dy , где L парабола y x2 и хорда y 4.
L
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 y2 2z2 2 в точке M 1, 1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F ez i j x y k .
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F 3x 1 i y x z j 4zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x y 2z 2 и
координатными плоскостями. |
|
|
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) |
циркуляцию |
|
векторного поля F (3x 2y)i (5x 2y) |
j (3z y2 3)k |
по контуру |
x2 y2 (z 1)2, L : z 3 .
6

Вариант 3. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2x 1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
xsinxdx |
|
|
3 |
x |
|
|
|||||||
1. |
|
|
|
|
dx; |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
dx; |
3. |
|
|
|
|
; |
4. |
xarctg |
|
dx; |
||||
2x 1 |
|
|
|
|
x |
2 |
1 cos |
2 |
x |
4 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
; |
6. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 x |
x |
|
|
|
|
1 x 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
y arctg x ипрямая,проходящаячерезначалокоординат ичерезточкус |
|||||||||||||||||||||||||||
абсциссой x 1 назаданнойлинии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременновнекардиоиды ρ 3(1 cosφ). |
|||||||||||||||||||||||||||
Вычислить длинудугикривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. y |
|
e2x |
|
1 |
|
2, |
(1 2)ln3 x (1 2)ln24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
a |
|
|
,a 0, |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля. |
||||||||||||||||||||||||
1. |
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле |
|||||||||||||||||||||||||||
|
f |
x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x = |
8 y2 , y 0, |
|||||||||||||||||||||||||
y D x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти массу неоднородной пластины D : x 0, |
y 0, 2x 3y 6, если |
поверхностная плотность в каждой ее точке x,y y2 2 .
3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2y 0, x y 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V : x 7 y2 z2 , x 28.
5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,
занимающего область V : y2 x2 z2, |
y 2. |
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 4y2, z 0, x 4.
7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
7

2y y2 dx y2 2xy dy, где L : x2 y2 R2.
L
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 2y2 2z2 1 в точке M 1,1, 1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.
9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F ex yj zk .
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F xi x z j y z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x 3y z 3 и координатными
плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) |
|
циркуляцию |
||||||||||||||||||
векторного поля |
F (3x 4y)i (3y x) |
j (xy 2z 4)k |
по контуру |
|||||||||||||||||
L : x2 y2 (z 2)2,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть 1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Определенные и несобственные интегралам. |
|||||||||||||
I. Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
dx |
|
|
1. |
|
|
|
|
; |
|
2. arccosxdx; |
3. |
|
; |
4. |
|
; |
|||||||
|
x |
2 |
2x 8 |
1 |
x |
3 2cosx |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
2/3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
|
|
|
6. |
1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 4x 7 |
x |
9x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
|
|||||||||||||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
||||||||||||||||||
1. x 4, y lnx икасательнаякэтойлиниивточкееёпересечениясосью Ox . |
||||||||||||||||||||
2. Внутриокружности ρ |
6cosφ иодновременновнутрилемнискаты ρ2 9cos2φ. |
Вычислить длинудугикривой:
3. y 1lnex e x , (1 4)ln2 x (1 4)ln5.
2 ex e x
|
|
t |
cost sint , |
|
|
4. |
x e |
0 |
t . |
||
|
|
|
|||
|
y et cost sint , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8

Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x 0, y 0, y 1,
D
y = lnx.
2.Найти массу неоднородной пластины D : x2 y2 4x,если поверхностная плотность в каждой ее точке x,y 4 x.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0, x y 0,
относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. |
Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V : |
|
z 2 x2 y2 , |
z 8. |
|
5. |
Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , |
занимающего область V : x y2 z2, x 9.
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 1, x2 y2 4, z 0, z 5 x .
7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
y x2 dx x y2 dy, L : x2 y2 R2, x 0, y 0 .
L |
|
|
|
|
8. |
Найти единичный вектор нормали к поверхности 2x2 4y2 4z 8 в точке |
|||
M |
|
2,1,1 ,составляющую острый угол с положительным направлением оси |
Oz. |
|
|
|
F y2z yzi 3xzj 2xyk . |
||
9. |
Найти дивергенцию и ротор векторного поля |
|
Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.
10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F x z i z x j x 2y z k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x y z 2 и координатными
плоскостями. |
|
|
|
|
|
||||
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) |
циркуляцию |
||||||||
векторного поля |
F |
( x 2y)i (x 2y) |
j (3z 2xy 9)k |
по контуру |
|||||
|
2 |
|
2 |
(z 3) |
2 |
, |
|
|
|
L : x |
|
y |
|
|
|
|
|||
z 1. |
|
|
|
|
|
|
9

Вариант 5. Часть 1.
Определенные и несобственные интегралам.
I. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
3 |
|
|
dx |
|
|
; |
2. 2 |
|
|
|
dx |
; |
3. 1 |
x3e2xdx; |
4. 9 |
x 3 1 xdx; |
|
cos |
2 |
x sin |
4 |
x |
|
x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
0 |
|
1 |
|
|||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
5 |
5 x dx; |
|
6. |
|
|
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
5 x |
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
II. Геометрические приложения определенных интегралов. |
||||||||||||||||||
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
||||||||||||||||||
1. |
y e x , y e 2x 2, x 0. |
|
|
|
|
|
2. Внутрикардиоиды ρ 1 cosφ иодновременновнутриокружности ρ 3sinφ. Вычислить длинудугикривой:
3.Вычислить длину дуги всей кривой y ln 1 x2 , которая расположена выше
прямой y ln3 2ln2. 4. asin4 4, a 0.
Часть 2.
Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интегралеf x,y dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2 y, x + y = 0.
D
2.Найти массу неоднородной пластины D : x 0, y 1, y x, если поверхностная плотность в каждой ее точке x,y x2 2y2.
3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 y2 2x 0,
x2 y2 2y 0, x 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.
4. |
Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V : |
|
z 5 x2 y2 , x2 y2 2, z 0. |
|
|
5. |
Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , |
|
занимающего область V : x2 y2 z2, |
x 2. |
6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 4x, x y 2, y 0.
7.Вычислить (непосредственно или по формуле Грина):
xydx 2xy2dy , где L контур треугольника ABC : A 1;0 , B 0;1 , C 0;0 .
L
8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 2x2 2y2 z2 1 в точке
10